Свойства логарифмов (формулы) таблица шпаргалка

Основный свойства и формулы логарифмов

---

Логарифм единицы

 1. log_a1 = 0 ⇔ a>0, a≠1

---

Логарифм основания

2. log_aa = 1 ⇔ a>0, a≠1

---

Логарифм произведения

3.  log_a(b⋅c) = log_a b + log_a c ⇔ a>0, b>0, c>0,a≠1

${\log _6}2 + {\log _6}3 ={\log _6}(2⋅3) ={\log _6}6=1$

---

Логарифм частного

4. ${\text{lo}}{{\text{g}}_a}\frac{b}{c} = {\log _a}b — {\log _a}c$ ⇔ a>0, b>0, c>0,a≠1

${\log _2}\frac{2}{5} = {\log _2}2 — {\log _2}5 = 1 — {\log _2}5$

---

Логарифм степени

5. log_abⁿ = n⋅log_a b ⇔ a>0, b>0, a≠1

${\text{3lo}}{{\text{g}}_8}4 = {\log _8}{4^3} = {\log _8}64 = 2$

---

Формула перехода от одного основания логарифма к другому

6. ${\text{lo}}{{\text{g}}_a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}$

${\text{lo}}{{\text{g}}_{\text{4}}}3 = \frac{{{{\log }_3}3}}{{{{\log }_3}4}} = \frac{1}{{{{\log }_3}4}}$

---

7. ${\text{lo}}{{\text{g}}_a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}$ ⇔ a>0, b>0, a≠1, b≠1

${\text{lo}}{{\text{g}}_{125}}5 = \frac{1}{{{{\log }_5}125}} = \frac{{\text{1}}}{{\text{3}}}$

---

Логарифм степени

8. ${\text{lo}}{{\text{g}}_{{a^n}}}b = \frac{1}{n}{\text{lo}}{{\text{g}}_a}b$ ⇔ a>0, b>0, a≠1, n≠0

${\text{lo}}{{\text{g}}_{25}}5 = {\log _{{5^2}}}5 = \frac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\log _5}5 = \frac{1}{2}$

---

9. ${\text{lo}}{{\text{g}}_{{a^{\frac{{\text{n}}}{{\text{m}}}}}}}b = \frac{m}{n} \cdot {\text{lo}}{{\text{g}}_a}b$   ⇔ a>0, b>0, a≠1

${\text{lo}}{{\text{g}}_{{{\text{2}}^{\frac{{\text{3}}}{{\text{4}}}}}}}2 = \frac{4}{3}{\log _2}2 = \frac{4}{3}$

---

10. ${a^{{{\log }_с}b}} = {b^{{{\log }_c}a}}$ ⇔ a>0, b>0, c>0, a≠1, b≠1, c≠1

${8^{{{\log }_2}5}} = {5^{{{\log }_2}8}} = {{\text{5}}^{\text{3}}} = {\text{125}}$

---

Основное логарифмическое тождество (подробно см. здесь.)

11. a^log_a b = b ⇔ a>0, b>0, a≠1

---

Дополнительные свойства логарифма:

$log_a⁡x^{2m}=2m log_a⁡|x|,x≠0,m∈N$
$log_a⁡x=log_{a^n}x^n, x>0,n∈R,a≠1,a>0$
$log_{a^k} x^m=\frac{m}{k}log_a⁡x, x>0,m∈R,k∈R,k≠0,a≠1,a>0$