Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение вероятности применимо для несовместных событий, в которых число равновозможных исходов бесконечно, например, попадания точки на участок отрезка, плоскости, пространства, объёма.

Общая формула для определения геометрической вероятности:

$P\left( A \right) = \frac{{mes\left( g \right)}}{{mes\left( G \right)}}$

Отношение меры области g, благоприятствующей событию А, к мере всей области G.

Формула вероятности попадания точки на участок отрезка L для одномерного пространства равна:

формула вероятности длины

Вероятность попадания в отрезок

Формула вероятности попадания точки в область пространства S для фигур в двухмерном пространстве равна:

формула вероятности площади

плоская фигура на плоскости

Формула вероятности попадания точки в заданный объём для фигур в трёхмерном пространстве V равна:

формула вероятности объёма

вероятность попадания в пространство


Пример 1

На отрезок OA длины L числовой оси Ох наудачу поставлена точка В(х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков OB и BA имеет длину, большую, чем L/3. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Решение

вероятность попадания в отрезок точки


Пример 2

На отрезке L длины 20 см помещен меньший отрезок l длины 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Решение

Аналогично первому примеру, вероятность равна:

P(A)=l/L=10/20=1/2


Пример 3

В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.

Решение
Вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет в малый круг равна:
Данный ниже рисунок показывает графически отношение (нажмите на рисунок)



Пример 4

Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры

Решение

P(A)=0.5·πr2/πr2=0.5


Пример 5

Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 1/4 часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов).

Решение
график студент наудачу выбирает момент своего прихода
  Многоугольник KBCMDA — есть многоугольник моментов встречи студентов, каждый из которых ждет другого не более 1/4 часа, то есть 15 минут, тогда
$P\left( A \right) = \frac{{{S_{KBCMDA}}}}{{{S_{KLMN}}}}$
SKBCMDA=SKLMN–2 · SBLC
SKLMN=1
SBLC = 0,5·BL·LC = 1/2·3/4·3/4 = 9/32

Пример 6

Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг:
а) квадрата;
б) правильного треугольника.

Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения относительно круга.

Решение
a)
Вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата равна:
вероятность вписанного в круг квадрата

$AB = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{2R}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 R$

${S_{ABCD}} = A{B^2} = {\left( {\sqrt 2 R} \right)^2} = 2{R^2}$

${S_{ABCD}} = 2 {R^2}$

Sкруга=πR2

$$P\left( A \right) = \frac{{2 \cdot {R^2}}}{{\pi  \cdot {R^2}}} = \frac{2}{\pi }$$

б)
Вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг правильного треугольника равна:
формула вероятность площадь правильного треугольника вписанного в круг
Вписанная и описанная в равносторонний треугольник окружность

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.