Теорема сложения вероятностей

Теоремы сложения вероятностей

Теорема 1
Для любых двух событий А и В, вероятность равна выражению:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)-Р(А·В)


Теорема 2
Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

 Р(А + В) = Р(А) + Р(В)


Следствие 1
Если события А12,…,Аn образуют полную группу, то получаем

P(A1+A2+…+An) = P(A1) + P(A2) + …+ P(An)

Следствие 2
Сумма вероятностей событий, образующих полную группу событий равна 1, т.е.

P(A1) + P(A2) + …+ P(An) = 1

Следствие 3
Сумма противоположных событий равна 1, т. е.


Пример 1
Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна. Какова вероятность того, что будет вынута пика или туз?
Решение
Здесь события
А«вытащили из колоды  карту масти пики»;
В«вытащили из колоды туз»;
А·В«вытащили из колоды пиковый туз».
По теореме сложения вероятностей имеем:

Р(А+В)=Р(А) + Р(В)-Р(А·В)

Так как в колоде карт 4 туза и 9 карт, имеющие масть пики, то получаем вероятности

P(A) = 4/36
P(B) = 9/36

Так как пиковый туз единственный в колоде карт, то вероятность Р(А·В) для события А·В«вытащили пиковый туз» равна 1/36

Р(А·В)=1/36

Искомая вероятность равна:

Р(А + В)=Р(А)+Р(В)–Р(А·В)=

=4/36+9/36+1/36=12/36=1/3


Пример 2
В ящике лежат 8 шаров, из которых 2 белых, 3 красных и 3 зеленых. Наугад берется один шар. Какова вероятность того, что этот шар цветной.
Решение 
А — «появление красного шара»

P(A) = 3/8

В — «появление зеленого шара»

P(B) = 3/8

А + В — «появление цветного шара»

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=

=3/8+3/8=6/8=3/4


Пример 3
Студент берет билет 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Какова вероятность того,
что он выберет билет с четным номером?
Решение
Номера чётных билетов: 2,4,6,8,10. Всего 5 билетов, следовательно, вероятность выбрать чётный билет равна:

1/10+1/10+1/10+1/10+1/10=5/10=1/2

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.