Теоремы сложения вероятностей
Теорема 1
Для любых двух событий А и В, вероятность равна выражению:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В)-Р(А·В)
Теорема 2
Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
Следствие 1
Если события А1,А2,…,Аn образуют полную группу, то получаем
P(A1+A2+…+An) = P(A1) + P(A2) + …+ P(An)
Следствие 2
Сумма вероятностей событий, образующих полную группу событий равна 1, т.е.
P(A1) + P(A2) + …+ P(An) = 1
Следствие 3
Сумма противоположных событий равна 1, т. е.
Пример 1
Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна. Какова вероятность того, что будет вынута пика или туз?
Решение
Здесь события
А — «вытащили из колоды карту масти пики»;
В — «вытащили из колоды туз»;
А·В — «вытащили из колоды пиковый туз».
По теореме сложения вероятностей имеем:
Р(А+В)=Р(А) + Р(В)-Р(А·В)
Так как в колоде карт 4 туза и 9 карт, имеющие масть пики, то получаем вероятности
P(A) = 4/36
P(B) = 9/36
Так как пиковый туз единственный в колоде карт, то вероятность Р(А·В) для события А·В — «вытащили пиковый туз» равна 1/36
Р(А·В)=1/36
Искомая вероятность равна:
Р(А + В)=Р(А)+Р(В)–Р(А·В)=
=4/36+9/36+1/36=12/36=1/3
Пример 2
В ящике лежат 8 шаров, из которых 2 белых, 3 красных и 3 зеленых. Наугад берется один шар. Какова вероятность того, что этот шар цветной.
Решение
А — «появление красного шара»
P(A) = 3/8
В — «появление зеленого шара»
P(B) = 3/8
А + В — «появление цветного шара»
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=
=3/8+3/8=6/8=3/4
Пример 3
Студент берет билет 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Какова вероятность того,
что он выберет билет с четным номером?
Решение
Номера чётных билетов: 2,4,6,8,10. Всего 5 билетов, следовательно, вероятность выбрать чётный билет равна:
1/10+1/10+1/10+1/10+1/10=5/10=1/2
1567