Числовые характеристики случайных величин

Перечислим основные характеристики случайных величин:
— математическое ожидание (характеризует среднее значение);
— дисперсия;
— среднеквадратическое отклонение;
— медиана случайной величины;
— мода случайной величины;
— начальный момент;
— центральный момент;
— аcсимметрия;
— эксцесс;
— квантиль уровня.

Математическое ожидание для непрерывной и дискретной случайной величины
Дисперсия для непрерывной и дискретной случайной величины
Среднеквадратическое отклонение случайной величины

Медиана случайной величины — это такое значение случайной величины X, при котором X=Me и  Me разделяет область значений на две части, вероятности попадания в любую из данных областей равновероятны, то есть выполняется условие:

p(X<Me)=p(X>Me)

F(Me)=0.5

Модой для дискретной случайной величины называют такое значение, которое наиболее вероятно.

Модой для непрерывной случайной величины называют наибольшее значение (точка локального максимума) плотности вероятности.

график мода и медиана случайной величины

Мода и медиана на графике  

Начальным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины Хk и определяется равенством:

νk=M(Хk)

Формула начального момента для непрерывной случайной величины:

формула начального момента для непрерывной случайной величины

Формула начального момента для дискретной случайной величины:

формула начального момента для дискретной случайной величины

Центральным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины (X-M(Х))k и определяется равенством:

μk=M[X-M(Х)]k

Формула центрального момента для непрерывной случайной величины:

Формула центрального момента для непрерывной случайной величины

Формула центрального момента для дискретной случайной величины:Формула центрального момента для дискретной случайной величины

Центральный момент первого порядка случайной величины X равен нулю, то есть

μ1=0

Центральный момент второго порядка случайной величины X равен дисперсии, то есть

μ2=D(x)

μ22–(ν2)2

Центральный момент третьего порядка случайной величины X характеризует асимметрию и определяется равенством:

μ33–3ν2ν1+2(ν1)2

Центральный момент четвёртого порядка случайной величины X характеризует эксцесс и  равен:

μ44–4ν3ν1+6ν21)2–3(ν1)4

Асимметрия характеризует меру сдвига распределения случайной величины в левую или правую часть и находится по формуле:Асимметрия формула

Асимметрия график

График — асимметрия  

Эксцесс — характеристика вогнутости и выпуклости распределения случайной величины и вычисляется по формуле:

Эксцесс формула

Эксцесс случайной величины график

График значений коэффициента эксцесса

Квантилем уровня p называют такое значение случайной величины xp которое удовлетворяет условие:

F(xp)=p

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.