Перечислим основные характеристики случайных величин:
— математическое ожидание (характеризует среднее значение);
— дисперсия;
— среднеквадратическое отклонение;
— медиана случайной величины;
— мода случайной величины;
— начальный момент;
— центральный момент;
— аcсимметрия;
— эксцесс;
— квантиль уровня.
Математическое ожидание для непрерывной и дискретной случайной величины
Дисперсия для непрерывной и дискретной случайной величины
Среднеквадратическое отклонение случайной величины
Медиана случайной величины — это такое значение случайной величины X, при котором X=Me и Me разделяет область значений на две части, вероятности попадания в любую из данных областей равновероятны, то есть выполняется условие:
p(X<Me)=p(X>Me)
F(Me)=0.5
Модой для дискретной случайной величины называют такое значение, которое наиболее вероятно.
Модой для непрерывной случайной величины называют наибольшее значение (точка локального максимума) плотности вероятности.
Мода и медиана на графике
Начальным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины Хk и определяется равенством:
νk=M(Хk)
Формула начального момента для непрерывной случайной величины:
Формула начального момента для дискретной случайной величины:
Центральным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины (X-M(Х))k и определяется равенством:
μk=M[X-M(Х)]k
Формула центрального момента для непрерывной случайной величины:
Формула центрального момента для дискретной случайной величины:
Центральный момент первого порядка случайной величины X равен нулю, то есть
μ1=0
Центральный момент второго порядка случайной величины X равен дисперсии, то есть
μ2=D(x)
μ2=ν2–(ν1)2
Центральный момент третьего порядка случайной величины X характеризует асимметрию и определяется равенством:
μ3=ν3–3ν2ν1+2(ν1)2
Центральный момент четвёртого порядка случайной величины X характеризует эксцесс и равен:
μ4=ν4–4ν3ν1+6ν2(ν1)2–3(ν1)4
Асимметрия характеризует меру сдвига распределения случайной величины в левую или правую часть и находится по формуле:
График — асимметрия
Эксцесс — характеристика вогнутости и выпуклости распределения случайной величины и вычисляется по формуле:
График значений коэффициента эксцесса
Квантилем уровня p называют такое значение случайной величины xp которое удовлетворяет условие:
F(xp)=p
ошибка в формуле второго центрального момента
Спасибо большое! Исправили индекс в формуле второго центрального момента.