Дисперсия случайной величины

Дисперсией случайной величины (СВ) называется математическое ожидание квадрата отклонения значений X от ее среднего значения.

Другое определение, дисперсия СВ — это мера разброса значений случайной величины X вокруг её математического ожидания.

Обозначение: D[X], D(X), DX

   Формула дисперсии для дискретной случайной величины X:
D(X)=M(X2)-M2(X)
или
 Формула дисперсии дискретной случайной величины
Х — дискретная случайная величина
 Формула дисперсии для непрерывной случайной величины X:
 формула дисперсия
   Дисперсия показывает степень рассеивания случайной величины (числовая характеристика рассеивания, оценка разброса).

Дисперсия числа появлений событий A в n независимых испытаниях вычисляется по формуле:

  D(X) = n⋅p⋅q
где
р — одинаковая вероятность появления события A в каждом испытании (опыте);
q = 1-p — вероятность не появления события A.
  

Пример 1

  Найти дисперсию дискретной случайной величины с законом распределения:
X 1 2 3 4
P 0.3 0.2 0.4 0.1
Решение
  Найдем математическое ожидание М(Х):
  М(Х)=1⋅0,3+2⋅0,2+3⋅0,4+4⋅0,1= 2.3
  Закон распределения случайной величины для квадрата значений X2 в виде таблицы:
X 1 4 9 16
P 0.3 0.2 0.4 0.1
Вычислим дисперсию для дискретной СВ:
  M(X2) = 1⋅0,3+4⋅0,2+9⋅0,4+16⋅0,1=
=0,3+0,8+3,6+1,6=6,3
  D(X) = M(X2)-M2(X)=6,3-(2.3)2=6,3-5,29=1.01

Пример 2

  Найти дисперсию непрерывной случайной величины в интервале (0, 1). Плотность распределения имеет вид:

$p\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{·{20}{c}}  {0;x \notin \left( {0;1} \right)} \\   {x;x \in \left( {0;1} \right)} \end{array}} \right.$

  Решение

Формула дисперсии для непрерывной СВ имеет вид:

Формула дисперсии непрерывной случайной величины

Подставим плотность распределения в формулу, получим решение

Пример с решением вычисление дисперсии непрерывной случайной величины


Пример 3

Вероятность отказа элемента в каждом испытании прибора равна 0,7. Требуется найти дисперсию дискретной случайной величины числа отказов прибора в двадцати независимых испытаниях
Решение
Из условия имеем n=20, q=0,7 и р=1-q = 0,3, получаем решение
 
  D(X) = n⋅p⋅q=20⋅0,7⋅0,3=4.2

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.