Факториал. Понятие и свойство факториала.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называется n-факториалом и обозначается как n! и равен

$${\bf{n}}! = {\bf{1}} \cdot {\bf{2}} \cdot {\bf{3}}…\left( {{\bf{n}} — {\bf{1}}} \right) \cdot {\bf{n}}$$

Эту формулу можно записать в следующем виде:
формула факториал
Factor от лат. сомножитель.

Примечание
Факториал определён только для целых неотрицательных чисел

Формула Стирлинга, для приближённого вычисления факториала:
Формула Стирлинга
Факториал вычисляется через Гамму-функцию по формуле:

$x! = \Gamma \left( {x + 1} \right)$

$\Gamma\left( x \right) = \left( {x — 1} \right)!$


Свойство факториала:

  1. Основное свойство (рекурсия)

$${\bf{n}}! = \left( {{\bf{n}} — {\bf{1}}} \right)! \cdot {\bf{n}}$$

2. Для числа 0 принято соглашение

$${\bf{0}}!{\text{ }} = {\text{ }}{\bf{1}}$$

3.

$${\bf{n}}{!^{\bf{2}}} \geqslant {{\bf{n}}^{\bf{n}}} \geqslant {\bf{n}}! \geqslant {\bf{n}}$$

Факториал часто используется в формулах комбинаторики (размещение без повторенийсочетание с повторениями и сочетание без повторенийперестановка с повторениями и перестановка без повторений), теории вероятностей (формула Бернулли) и т.д. 


Пример 1 

5!= 1⋅2⋅3⋅4⋅5 =120


Пример 2 

9!-7!=1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅9−1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7=

=1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅(8⋅9−1)=5040⋅71= 357840


Таблица значений факториала от 0 до 100

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.