Равномерное распределение

Закон равномерного движения

Случайную величину равномерно распределённой на интервале (a, b) и её плотность вероятности равна некоторой постоянной величине на этом интервале и нулю вне него.

a, b — параметры распределения.

Таким образом, случайная непрерывная величина X имеет равномерное распределение, если она принимает значения х_i (где i=1…n, n — независимые испытания) с одинаковыми вероятностями,

$p\left( {{x_i}} \right) = \frac{1}{n}$

  Случайная величина X на промежутке от а до b имеет равномерное распределение, если плотность распределение равна

 на заданном промежутке, а вне его р(х)=0

График плотности вероятности

или плотность распределения можно записать в виде:

Функция распределения в этом случае имеет вид:

График функции распределения

Математическое ожидание случайной непрерывной величины X вычисляется следующим образом:

Математическое ожидание получается из выражения:

\[M\left( X \right) = \int\limits_a^b {xf\left( x \right)dx = \frac{1}{{\left( {b — a} \right)}}\int\limits_a^b {xdx = \left. {\frac{{{x^2}}}{{2\left( {b — a} \right)}}} \right|} _a^b = \frac{{{b^2} — {a^2}}}{{2\left( {b — a} \right)}} = \frac{{\left( {b + a} \right)}}{2}} \]

Дисперсия случайной непрерывной величины X вычисляется следующим образом:

Дисперсия выводится из выражения:

$D\left( X \right) = \int\limits_a^b {{x^2}f\left( x \right)dx — {{\left[ {M\left( X \right)} \right]}^2} = \frac{1}{{\left( {b — a} \right)}}} {\int\limits_a^b {{x^2}dx — \left[ {\frac{{a + b}}{2}} \right]} ^2} = $

$=\left. {\frac{{{x^3}}}{{3\left( {b — a} \right)}}} \right|_a^b — {\left[ {\frac{{a + b}}{2}} \right]^2} = \frac{{{a^2} + ab + {b^2}}}{3} — {\left[ {\frac{{a + b}}{2}} \right]^2}= \frac{{{{\left( {b — a} \right)}^2}}}{{12}}$

Среднее квадратическое отклонение (СКО) равно:

\[\sigma \left( X \right) = \sqrt {D\left( X \right)} = \sqrt {\frac{{{{\left( {b — a} \right)}^2}}}{{12}}} = \frac{{\left( {b — a} \right)\sqrt 3 }}{6}\]

Медиана равна:

$\frac{{a + b}}{2}$

Мода:

Любое число из отрезка [a, b]

---

Пример 1

Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 10 с.