Равномерное распределение

Случайную величину равномерно распределённой на интервале (a, b) и её плотность вероятности равна некоторой постоянной величине на этом интервале и нулю вне него.

a, b — параметры распределения.

Таким образом, случайная непрерывная величина X имеет равномерное распределение, если она принимает значения хi (где i=1…n, n — независимые испытания) с одинаковыми вероятностями,

$p\left( {{x_i}} \right) = \frac{1}{n}$

  Случайная величина X на промежутке от а до b имеет равномерное распределение, если плотность распределение равна

формула

 на заданном промежутке, а вне его р(х)=0

Равномерное распределение рисунок

График плотности вероятности

или плотность распределения можно записать в виде:

функция
Функция распределения в этом случае имеет вид:
формула

График функции распределения

График функции распределения

Математическое ожидание случайной непрерывной величины X вычисляется следующим образом:

математическое ожидание формула

Математическое ожидание получается из выражения:

\[M\left( X \right) = \int\limits_a^b {xf\left( x \right)dx = \frac{1}{{\left( {b — a} \right)}}\int\limits_a^b {xdx = \left. {\frac{{{x^2}}}{{2\left( {b — a} \right)}}} \right|} _a^b = \frac{{{b^2} — {a^2}}}{{2\left( {b — a} \right)}} = \frac{{\left( {b + a} \right)}}{2}} \]

Дисперсия случайной непрерывной величины X вычисляется следующим образом:

Дисперсия формула

Дисперсия выводится из выражения:

$D\left( X \right) = \int\limits_a^b {{x^2}f\left( x \right)dx — {{\left[ {M\left( X \right)} \right]}^2} = \frac{1}{{\left( {b — a} \right)}}} {\int\limits_a^b {{x^2}dx — \left[ {\frac{{a + b}}{2}} \right]} ^2} = $

$=\left. {\frac{{{x^3}}}{{3\left( {b — a} \right)}}} \right|_a^b — {\left[ {\frac{{a + b}}{2}} \right]^2} = \frac{{{a^2} + ab + {b^2}}}{3} — {\left[ {\frac{{a + b}}{2}} \right]^2}= \frac{{{{\left( {b — a} \right)}^2}}}{{12}}$

Среднее квадратическое отклонение (СКО) равно:

\[\sigma \left( X \right) = \sqrt {D\left( X \right)} = \sqrt {\frac{{{{\left( {b — a} \right)}^2}}}{{12}}} = \frac{{\left( {b — a} \right)\sqrt 3 }}{6}\]

Медиана равна:

$\frac{{a + b}}{2}$

Мода:

Любое число из отрезка [a, b]


Пример 1

Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 10 с.

Решение

В условии задачи, случайная непрерывная величина X — это показание часов, которая соответствует равномерному закону распределения СВ в диапазоне от 0 секунд до 60 секунд.

Вычислим плотность распределения данной СВ:

$p\left( x \right) = \frac{1}{{60 — 0}} = \frac{1}{60}$

 Это событие может произойти либо в интервале (0; 10), либо в интервале (50; 60), то есть стрелка может переместиться как вправо, так и влево на на 10 с и данные два события независимые. По теореме сложения, получаем

Р(0<X<10)+Р(50<X<60)

Подставляя значения в формулу, имеем
пример


Пример 2
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете
будет сделана ошибка:
а) меньшая 0,04;
б) большая 0,05
Решение

а) Найдем вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка меньшая 0,04 через интеграл:

найти вероятность равномерное распределение пример

б) Аналогично, большая 0,05

пример с решением равномерное распределение


Пример 3

Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.

Решение
Плотность распределения равномерной случайной   величины   равна:

$p\left( x \right) = \frac{1}{{5 — 0}} = \frac{1}{5}$

Вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин равна:
найти вероятность равномерное распределение пример


Пример 4

Ребро куба х измерено приближенно, причем а≤х≤b. Рассматривая ребро куба как случайную величину X, распределенную равномерно в интервале (а;b), найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.
Решение

Плотность распределения случайной величины равна:

формула
В виду того, что X3 , тогда математическое ожидание:
математическое ожидание равномерное распределение решение примера
Найдём дисперсию:
дисперсия равномерное распределение решение примера

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.