Биномиальный закон распределения

Биномиальный  закон распределения случайной величины

Распределение вероятностей называется биномиальным, если вычисляется по формуле Бернулли:

формула Бернулли

 $C_n^m$ — число сочетаний m по n, находится по формуле здесь.

p — вероятность наступления события;
q=p-1 — вероятность не наступления события

Плотность распределения биномиальный закон график

График плотности распределения для биномиального закона распределения СВ.

при k=30, p=0.75
при k=30, p=0.18
при k=30, p=0.5

Функция распределения биномиальный закон график

График функции распределения

Биномиальное распределение относится к дискретному распределению.

Математическое ожидание для этого распределения имеет вид:

  M(X)=n⋅p

Дисперсия равна:

  D(X)=n⋅p⋅q

Ряд биномиального закона распределения дискретной случайной величины в виде таблицы:

Таблица ряд биномиального закона распределения


Пример 1

Тракторный завод получает два госзаказа на производство тракторов из 10. Необходимо составить закон распределения вероятностей на производство m тракторов, построить полигон распределения вероятностей.

Решение
Из условия получаем
p=2/10=0,2
q=1-p=1-0,2=0,8
n=10

m  $C_n^m$ pm qn-m Pm,n
0 1 1,0000000000 0,348678 0,3486784401
1 10 0,1000000000 0,38742 0,3874204890
2 45 0,0100000000 0,430467 0,1937102445
3 120 0,0010000000 0,478297 0,0573956280
4 210 0,0001000000 0,531441 0,0111602610
5 252 0,0000100000 0,59049 0,0014880348
6 210 0,0000010000 0,6561 0,0001377810
7 120 0,0000001000 0,729 0,0000087480
8 45 0,0000000100 0,81 0,0000003645
9 10 0,0000000010 0,9 0,0000000090
10 1 0,0000000001 1 0,0000000001

Полигон распределения вероятностей будет иметь вид:

Биномиальное распределение пример


Пример 2

Производится три выстрела по мишени, вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Рассматривается случайная величина X – число попаданий в мишень. Найти ее ряд распределения.

Решение

Здесь, n = 3;

p = 0,8 — вероятность попадания;

q = 1 — 0,8 = 0,2 — вероятность промоха

Для вычисления применим формулу

формула Бернулли

получим

${P_3}\left( 0 \right) = P\left( {X = 0} \right) = C_3^0{0,8^0}{0,2^{3 — 0}} = {0,2^3} = 0,008$

${P_3}\left( 1 \right) = P\left( {X = 1} \right) = C_3^1{0,8^1}{0,2^{3 — 1}} = 3 \cdot {0,2^2} \cdot 0,8 = 0,096$

${P_3}\left( 2 \right) = P\left( {X = 2} \right) = C_3^2{0,8^2}{0,2^{3 — 2}} = 3 \cdot 0,2 \cdot {0,8^2} = 0,384$

${P_3}\left( 3 \right) = P\left( {X = 3} \right) = C_3^3{0,8^3}{0,2^{3 — 3}} = {0,8^3} = 0,512$

Представим графически в виде гистограммы

гистограмма

Ряд распределения случайной величины имеет вид:

X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512

Проверяем:

∑p=0,008+0,096+0,384+0,512=1

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.