Закон распределения Пуассона

Закон распределения случайной величины Пуассона 

Закон распределения СВ Пуассона вытекает из биномиального закона распределения СВ и относится к дискретному распределению.

В случая малых значений р0 (то есть при р≤0,1) и большом значении n применяется закон распределения случайной величины Пуассона.

Вероятность того, что случайная величина X примет значение равное k, вычисляется по формуле:

формула Пуассона

  Р(Х=k) = Pn(k) = λk⋅e/k!

где  λ=n⋅p = const

Это выражение описывает плотность вероятности.
Распределение Пуассона в виде гистограммы
Таблица ряда распределения случайной величины X по закону Пуассона:
закон пуассона распределения случайной величин - таблица
Плотность распределения график
График плотности распределения случайной величины, где красным цветом при λ=1, синим λ=5, зелёным λ=10, оранжевым λ=0.5 и фиолетовым λ=2
Функция распределения определяется равенством:
Функция распределения формула
функция распределения график
График функции распределения случайной величины по закону Пуассона при λ=1, λ=5, λ=10, λ=0.5 и λ=2
Закон распределения Пуассона связан с редкими событиями, например, число дефектов в производственном процессе, число несчастных случаев и т д. Применяется также системах массового обслуживания.
Параметр распределения равен:   λ
Математическое ожидание:
Математическое ожидание формула

M(x) = λ

Дисперсия:

$D(X) = M({X^2}) — {M^2}(X)$ 

$$M(x) = \lambda  \Rightarrow {M^2}(x) = {\lambda ^2}$$

Дисперсия формула

$\displaylines{D(X) = M({X^2}) — {M^2}(X) =  \cr = \lambda (\lambda  + 1) — {\lambda ^2} = \lambda  \cr} $

D(x) = λ


Пример
В магазин по продажи холодильников поступает примерно 100 звонков в день. Вероятность того, что закажут холодильник белого цвета 0,09; чёрного — 0,07 и бежевого — 0,03.
Требуется составить закон распределения заказов на покупку холодильников.
Решение
Здесь n=100 и p1=0,09, p2=0,07, p3=0,03. 
Так как λ=np, тогда
λ1=9, λ2=7 и λ3=3
Составим таблицу распределения вероятностей при различных значениях k и λ.

k λ1=9 λ2=5 λ3=3
0 0,000123 0,006738 0,049787
1 0,001111 0,03369 0,149361
2 0,004998 0,084224 0,224042
3 0,014994 0,140374 0,224042
4 0,033737 0,175467 0,168031
5 0,060727 0,175467 0,100819
6 0,09109 0,146223 0,050409
7 0,117116 0,104445 0,021604
8 0,131756 0,065278 0,008102
9 0,131756 0,036266 0,002701
10 0,11858 0,018133 0,00081

На основании этой таблицы построим полигон распределения покупки холодильников.

график закон распределения пример

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.7 / 5. Количество оценок: 3

Оценок пока нет. Поставьте оценку первым.

2859

Leave a Reply

Ваш адрес email не будет опубликован.