Закон распределения Пуассона

Закон распределения случайной величины Пуассона 

Закон распределения СВ Пуассона вытекает из биномиального закона распределения СВ и относится к дискретному распределению.

В случая малых значений р0 (то есть при р≤0,1) и большом значении n применяется закон распределения случайной величины Пуассона.

Вероятность того, что случайная величина X примет значение равное k, вычисляется по формуле:

формула Пуассона

  Р(Х=k) = Pn(k) = λk⋅e/k!

где  λ=n⋅p = const

Это выражение описывает плотность вероятности.
Распределение Пуассона в виде гистограммы
Таблица ряда распределения случайной величины X по закону Пуассона:
закон пуассона распределения случайной величин - таблица
Плотность распределения график
График плотности распределения случайной величины, где красным цветом при λ=1, синим λ=5, зелёным λ=10, оранжевым λ=0.5 и фиолетовым λ=2
Функция распределения определяется равенством:
Функция распределения формула
функция распределения график
График функции распределения случайной величины по закону Пуассона при λ=1, λ=5, λ=10, λ=0.5 и λ=2
Закон распределения Пуассона связан с редкими событиями, например, число дефектов в производственном процессе, число несчастных случаев и т д. Применяется также системах массового обслуживания.
Параметр распределения равен:   λ
Математическое ожидание:
Математическое ожидание формула

M(x) = λ

Дисперсия:

$D(X) = M({X^2}) — {M^2}(X)$ 

$$M(x) = \lambda  \Rightarrow {M^2}(x) = {\lambda ^2}$$

Дисперсия формула

$\displaylines{D(X) = M({X^2}) — {M^2}(X) =  \cr = \lambda (\lambda  + 1) — {\lambda ^2} = \lambda  \cr} $

D(x) = λ


Пример
В магазин по продажи холодильников поступает примерно 100 звонков в день. Вероятность того, что закажут холодильник белого цвета 0,09; чёрного — 0,07 и бежевого — 0,03.
Требуется составить закон распределения заказов на покупку холодильников.
Решение
Здесь n=100 и p1=0,09, p2=0,07, p3=0,03. 
Так как λ=np, тогда
λ1=9, λ2=7 и λ3=3
Составим таблицу распределения вероятностей при различных значениях k и λ.

k λ1=9 λ2=5 λ3=3
0 0,000123 0,006738 0,049787
1 0,001111 0,03369 0,149361
2 0,004998 0,084224 0,224042
3 0,014994 0,140374 0,224042
4 0,033737 0,175467 0,168031
5 0,060727 0,175467 0,100819
6 0,09109 0,146223 0,050409
7 0,117116 0,104445 0,021604
8 0,131756 0,065278 0,008102
9 0,131756 0,036266 0,002701
10 0,11858 0,018133 0,00081

На основании этой таблицы построим полигон распределения покупки холодильников.

график закон распределения пример

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.