Интегрирование рациональных дробей

Допустим дана дробная рациональная функция вида:

Дробная рациональная функция

Если m≥n, то данная дробь неправильная.

Если m<n, то данная дробь правильная.

Общий алгоритм интегрирования рациональной дроби:

  1. если дробь неправильная, то следует разделить числитель на знаменатель и тем самым исключить целую часть;
  2. разложить знаменатель правильной дроби на множители:

P(x)=(x-a)m,…(x2+px+q)n

III. Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:

Правильная рациональная дробь

Формулы, применяемые для разложения рациональной дроби:

формлы для разложения рациональной дроби

IV. Найти неопределенные коэффициенты A1, A2, Am…B1,B2,Bn 

V. Выполнить интегрирование.

Рассмотрим примеры интегрирования рациональных дробей.


Пример 1

Найти интеграл:

Пример

Решение

Исходная дробь правильная.

Разложим знаменатель на множители:

x2-7x+13 = (x-3)(x-4)

Разложение данной дроби имеет вид:

Пример разложение дроби

Освобождаясь от знаменателей, получаем:

x = A(x-4) + B(x-3)

x = Ax-4A + Bx-3B

x = (A+B)x-4A-3B

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x получаем:

Пример система

Решив эту систему, находим:

A=-3, B=4

Получаем разложение данной дроби

Разложение дроби

Интегрируя, находим:

Решение интеграла


Пример 2

Дана дробь

неправильная дробь

Дробь неправильная, так как числитель больше знаменатель. Необходимо выполнить деление, т.е.

неправильная дробь деление

В итоги получаем целую часть и правильную дробь. Интегрирование осуществляем также, как и в примере 1.

решение дробь

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.