Интегрирование рациональных дробей

Допустим дана дробная рациональная функция вида:
Дробная рациональная функция
Если m≥n, то данная дробь неправильная.
Если m<n, то данная дробь правильная.

Общий алгоритм интегрирования рациональной дроби:

  1. если дробь неправильная, то следует разделить числитель на знаменатель и тем самым исключить целую часть;
  2. разложить знаменатель правильной дроби на множители:

P(x)=(x-a)m,…(x2+px+q)n

III. Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:

Правильная рациональная дробь
Формулы, применяемые для разложения рациональной дроби:
формулы для разложения рациональной дроби
IV. Найти неопределенные коэффициенты A1, A2, Am…B1,B2,Bn 

V. Выполнить интегрирование.

Рассмотрим примеры интегрирования рациональных дробей.


Пример 1
Найти интеграл:
Пример
Решение
Исходная дробь правильная.
Разложим знаменатель на множители:

x2-7x+13 = (x-3)(x-4)

Разложение данной дроби имеет вид:
Пример разложение дроби
Освобождаясь от знаменателей, получаем:

x = A(x-4) + B(x-3)

x = Ax-4A + Bx-3B

x = (A+B)x-4A-3B

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x получаем:
Пример система
Решив эту систему, находим:

A=-3, B=4

Получаем разложение данной дроби
Разложение дроби
Интегрируя, находим:
Решение интеграла


Пример 2
Дана дробь
неправильная дробь
Дробь неправильная, так как числитель больше знаменатель. Необходимо выполнить деление, т.е.
неправильная дробь деление
В итоги получаем целую часть и правильную дробь. Интегрирование осуществляем также, как и в примере 1.
решение дробь


Пример 3
Найти 
пример интегрирование дроби
Решение
Выполним преобразование неправильной дроби в правильную (как в примере 2)
преобразование неправильной дроби в правильную
Рассмотрим интеграл:
интеграл пример
Данная дробь правильная. Разлагаем знаменатель на множители:
знаменатель на множители
Разложение данной дроби имеет вид:
разложение дроби
Освобождаясь от знаменателей, получаем:
интегрирование дроби знаменатель
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x получаем систему уравнений:
коэффициенты дроби интеграл
Находим определитель:
определитель третьего порядка
Решив эту систему, находим коэффициенты:
вычисляем коэффициенты
Получаем разложение данной дроби:
разложение дроби пример
Интеграл примет вид:
вычисление интеграла пример с решением


Пример 4
Найти 
Интегрирование рациональных дробей пример
Решение
Выполним преобразования знаменателя
рациональная дробь преобразование
отсюда, множитель x не повторяется, а множитель x-1 повторяется дважды, тогда разложение данной дроби имеет вид:
разложение повторяющиеся дроби  
освобождаясь от знаменателей, получаем
Знаменатель преобразование интегрирование
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x получаем систему уравнений:
коэффициенты интегрирования
Решив эту систему уравнений, находим коэффициенты:

A=2; B=-2; C=1

В результате получаем разложение данной дроби:разложение дроби решение
Интегрируя последовательно, находим:
Интегрирование рациональной дроби пример с решением


Пример 5
Найти 
пример интегрирование
Решение
Преобразуем дробь:
неопределенный интеграл преобразование дроби
Разложение данной дроби с комплексными числами имеет вид:
интегрирование разложение дроби с комплексным числом
Освобождаясь от знаменателей, получаем:
интегрирование знаменатель решение
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x получаем систему уравнений:
коэффициенты при одинаковых степенях
Найдём определитель третьего порядка:
определитель вычисление
Решив эту систему, находим коэффициенты:
комплексные коэффициенты
Получаем разложение и решение данной дроби с комплексными числами:
Интегрирование рациональных дробей с комплексными числами

566

Leave a Reply

Ваш адрес email не будет опубликован.