Допустим дана дробная рациональная функция вида:
Если m≥n, то данная дробь неправильная.
Если m<n, то данная дробь правильная.
Общий алгоритм интегрирования рациональной дроби:
- если дробь неправильная, то следует разделить числитель на знаменатель и тем самым исключить целую часть;
- разложить знаменатель правильной дроби на множители:
P(x)=(x-a)m,…(x2+px+q)n
III. Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:
Формулы, применяемые для разложения рациональной дроби:
IV. Найти неопределенные коэффициенты A1, A2, Am…B1,B2,Bn
V. Выполнить интегрирование.
Рассмотрим примеры интегрирования рациональных дробей.
Пример 1
Найти интеграл:
Решение
Исходная дробь правильная.
Разложим знаменатель на множители:
x2-7x+13 = (x-3)(x-4)
Разложение данной дроби имеет вид:
Освобождаясь от знаменателей, получаем:
x = A(x-4) + B(x-3)
x = Ax-4A + Bx-3B
x = (A+B)x-4A-3B
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x получаем:
Решив эту систему, находим:
A=-3, B=4
Получаем разложение данной дроби
Интегрируя, находим:
Пример 2
Дана дробь
Дробь неправильная, так как числитель больше знаменатель. Необходимо выполнить деление, т.е.
В итоги получаем целую часть и правильную дробь. Интегрирование осуществляем также, как и в примере 1.