Интегрирование рациональных дробей

Допустим дана дробная рациональная функция вида:

Если m≥n, то данная дробь неправильная.

Если m<n, то данная дробь правильная.

Общий алгоритм интегрирования рациональной дроби:

1. если дробь неправильная, то следует разделить числитель на знаменатель и тем самым исключить целую часть;
2. разложить знаменатель правильной дроби на множители:

P(x)=(x-a)^m,…(x²+px+q)ⁿ

III. Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:

Формулы, применяемые для разложения рациональной дроби:

IV. Найти неопределенные коэффициенты A₁, A₂, A_m…B₁,B₂,B_n 

V. Выполнить интегрирование.

Рассмотрим примеры интегрирования рациональных дробей.

Пример 1

Найти интеграл:

Решение

Исходная дробь правильная.

Разложим знаменатель на множители:

x²-7x+13 = (x-3)(x-4)

Разложение данной дроби имеет вид:

Освобождаясь от знаменателей, получаем:

x = A(x-4) + B(x-3)

x = Ax-4A + Bx-3B

x = (A+B)x-4A-3B

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x получаем:

Решив эту систему, находим:

A=-3, B=4

Получаем разложение данной дроби

Интегрируя, находим:

Пример 2

Дана дробь

Дробь неправильная, так как числитель больше знаменатель. Необходимо выполнить деление, т.е.

В итоги получаем целую часть и правильную дробь. Интегрирование осуществляем также, как и в примере 1.