Интегрирование рациональных дробей

Допустим дана дробная рациональная функция вида:

Если m≥n, то данная дробь неправильная.
Если m<n, то данная дробь правильная.

Общий алгоритм интегрирования рациональной дроби:

1. если дробь неправильная, то следует разделить числитель на знаменатель и тем самым исключить целую часть;
2. разложить знаменатель правильной дроби на множители:

P(x)=(x-a)^m,…(x²+px+q)ⁿ

III. Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:

Формулы, применяемые для разложения рациональной дроби:

IV. Найти неопределенные коэффициенты A₁, A₂, A_m…B₁,B₂,B_n 

V. Выполнить интегрирование.

Рассмотрим примеры интегрирования рациональных дробей.

---

Пример 1
Найти интеграл:

Решение
Исходная дробь правильная.
Разложим знаменатель на множители:

x²-7x+13 = (x-3)(x-4)

Разложение данной дроби имеет вид:

Освобождаясь от знаменателей, получаем:

x = A(x-4) + B(x-3)

x = Ax-4A + Bx-3B

x = (A+B)x-4A-3B

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x получаем:

Решив эту систему, находим:

A=-3, B=4

Получаем разложение данной дроби

Интегрируя, находим:

---

Пример 2
Дана дробь

Дробь неправильная, так как числитель больше знаменатель. Необходимо выполнить деление, т.е.

В итоги получаем целую часть и правильную дробь. Интегрирование осуществляем также, как и в примере 1.

---

Пример 3
Найти 

Решение
Выполним преобразование неправильной дроби в правильную (как в примере 2)

Рассмотрим интеграл:

Данная дробь правильная. Разлагаем знаменатель на множители:

Разложение данной дроби имеет вид:

Освобождаясь от знаменателей, получаем:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x получаем систему уравнений:

Находим определитель:

Решив эту систему, находим коэффициенты:

Получаем разложение данной дроби:

Интеграл примет вид:

---

Пример 4
Найти 

Решение
Выполним преобразования знаменателя

отсюда, множитель x не повторяется, а множитель x-1 повторяется дважды, тогда разложение данной дроби имеет вид:
 
освобождаясь от знаменателей, получаем

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x получаем систему уравнений:

Решив эту систему уравнений, находим коэффициенты:

A=2; B=-2; C=1

В результате получаем разложение данной дроби:
Интегрируя последовательно, находим:

---

Пример 5
Найти 

Решение
Преобразуем дробь:

Разложение данной дроби с комплексными числами имеет вид:

Освобождаясь от знаменателей, получаем:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x получаем систему уравнений:

Найдём определитель третьего порядка:

Решив эту систему, находим коэффициенты:

Получаем разложение и решение данной дроби с комплексными числами: