Универсальная тригонометрическая подстановка для интегрирования функции

Универсальная тригонометрическая подстановка имеет вид:

$$tg\frac{x}{2} = t$$

К такой подстановки преобразуются в интеграл от рациональной дроби тригонометрические функции sinx, cosx,  по следующем формулам:

---

Пример 1
Найти интеграл:
       
Решение
Интегралы этого вида рационализируются подстановкой $\tan\frac{x}{2}=z$, тогда имеем:

Получаем

Рассмотрим интеграл

так как дробь правильная, то воспользуемся методом интегрирования рациональных дробей и выполним разложение знаменателя на множители:

$z^2-8z+15=(x-5)(x-3)$

Разложение искомой дроби примет вид:

Исключая знаменатель, решаем:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x получаем систему:

корни системы:

$A=1$, $B=-1$

получаем разложение дроби:

подставляя сюда

$\tan\frac{x}{2}=z$

находим решение интеграла с данной подстановкой