Универсальная тригонометрическая подстановка для интегрирования функции

Универсальная тригонометрическая подстановка имеет вид:

$$tg\frac{x}{2} = t$$

К такой подстановки преобразуются в интеграл от рациональной дроби тригонометрические функции sinx, cosx,  по следующем формулам:
формулы подстановки для интеграла от рациональной дроби


Пример 1
Найти интеграл:
    пример интегрирования функции   
Решение
Интегралы этого вида рационализируются подстановкой $\tan\frac{x}{2}=z$, тогда имеем:
универсальная подстановка tan x на 2
Получаем
универсальная подстановка интеграл
Рассмотрим интеграл
пример интеграл с дробью
так как дробь правильная, то воспользуемся методом интегрирования рациональных дробей и выполним разложение знаменателя на множители:

$z^2-8z+15=(x-5)(x-3)$

Разложение искомой дроби примет вид:
Разложение дроби
Исключая знаменатель, решаем:
знаменатель пример
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x получаем систему:
коэффициенты система уравнений
корни системы:

$A=1$, $B=-1$

получаем разложение дроби:
интеграл с подстановкой tan x на 2 решение
подставляя сюда

$\tan\frac{x}{2}=z$

находим решение интеграла с данной подстановкой 
решение интеграла с подстановкой

1192

Leave a Reply

Ваш адрес email не будет опубликован.