Дифференциальное уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение вида:

y’ + P(x)y = Q(x) y^α

называется уравнением Бернулли.

При α=0 и α=1 уравнение превращается в линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

В других случаях решается, опять же к приведению к  линейному дифференциальному уравнению 1-ого порядка обе части уравнения разделить на y^α и применить метод замены переменной подстановкой z=y^1-α или решить с помощью подстановки y=u·v.

По сути уравнением Бернулли тесно связано с линейным уравнением.

Поэтому здесь будет рассмотрен пример с решением.

---

Пример

Решить уравнение

$$y’ + 2xy = 3{x^3}{y^2}$$

Решение

Обе части уравнения разделим на y²

получаем

$$\frac{{y’}}{{{y^2}}} — 2\frac{x}{y} = 7{x^3}$$

Затем сделаем замену

$$z = \frac{1}{y}$$

отсюда

$$z’ =  — \frac{{y’}}{{{y^2}}}$$

Приведём уравнение к линейному ДУ 1-ого порядка

$$z’ + 2xz =  — 7{x^3}$$

$$z’ + 2xz = 0$$

$$\frac{{dz}}{z} =  — 2xdx$$

$$\ln \left| z \right| =  — {x^2} + {C_1}$$

$$z = C{e^{ — {x^2}}}$$

Общее решение уравнения

$$z’ + 2xz =  — 7{x^3}$$

найдём в виде

$$z = C(x){e^{ — {x^2}}}$$

тогда

Тогда, общее решение линейного уравнения примет вид

$$z = C{e^{ — {x^2}}} + \frac{7}{2}\left( {1 — {x^2}} \right)$$

Сделаем обратную замену, получим решение данного уравнения

$$y = \frac{2}{{2C{e^{ — {x^2}}} + 7\left( {1 — {x^2}} \right)}}$$

Также решением уравнения является y=0