Метод вариации произвольной постоянной

Метод вариации произвольной постоянной или метод Лагранжа используется для уравнения вида:

x’ + p(y)x = q(y)

Решением этого уравнения будет математическое выражение:

метод Лагранжа формула


Пример

Решить уравнение

$$\left( {x + {y^2}} \right)dy = ydx$$

Решение

$$\eqalign{& \frac{{\left( {x + {y^2}} \right)dy}}{{ydy}} = \frac{{ydx}}{{ydy}}  \cr& \frac{{x + {y^2}}}{y} = \frac{{dx}}{{dy}}  \cr& \frac{{dx}}{{dy}} — \frac{1}{y} \cdot x = y \cr} $$

$$\eqalign{& x = {e^{ — \int { — \frac{{dy}}{y}} }} \cdot \left[ {{C_1} + \int {y \cdot {e^{\int { — \frac{{dy}}{y}} }}dy} } \right] =   \cr&  = {e^{\int {\frac{{dy}}{y}} }} \cdot \left[ {{C_1} + \int {y \cdot {e^{ — \int {\frac{{dy}}{y}} }}dy} } \right] =   \cr&  = {e^{\ln \left| y \right|}} \cdot \left[ {{C_1} + \int {y \cdot {e^{ — \ln \left| y \right|}}dy} } \right] =  \cr} $$

$$\eqalign{ &  = y \cdot \left[ {{C_1} + \int {1 \cdot dy} } \right] =   \cr &  = y \cdot \left( {{C_1} + y} \right) \cr} $$

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.