Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Дифференциальное уравнение вида:

y’ + P(x)y = Q(x)

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

P(x), Q(x) — непрерывные функции.

Решается уравнение заменой неизвестной функции.

Возьмём производную от функции

y=u·v

получим

y’=u’v+uv’

Подставляем в исходное уравнение, получаем

u’v+uv’+P(x)u·v = Q(x)

отсюда

u’v+u(v’+P(x)v) = Q(x)

Возьмём функцию, которая в скобках дает ноль, запишем так

u(v’+P(x)v)=0

Решая уравнения

v’+P(x)v=0

имеем

v=e-∫P(x)dx

Теперь найдем оставшуюся часть уравнения

u’v= Q(x)

u’e-∫P(x)dx= Q(x)

Отсюда

u=∫Q(x)·e∫P(x)dx dx+C

Тогда общее решение уравнения будет

y=(∫Q(x)·e∫P(x)dx dx+Ce-∫P(x)dx


Пример 1

Решить уравнение

$$y’ — y = {e^x}$$

Решение

Воспользуемся формулой выше, получим решение

уравнение дифференциальное пример с решением


Пример 2

Решить уравнение

$xy{\text{‘}} + y = sin2x$

Решение

Для решения этого уравнения, сделаем подстановку вида

y=u·v

y’=u’v+uv’

Тогда имеем

$x\left( {u’v + uv’} \right) + uv = sin2x$

$xu’v + uv + xuv’ = sin2x$

$v\left( {xu’ + u} \right) + xuv’ = sin2x$

$xu’ + u = 0$

$x\frac{{du}}{{dx}} + u = 0$

$\frac{{du}}{u} =  — \frac{{dx}}{x}$

$\mathop \smallint \nolimits^ \frac{{du}}{u} = \mathop \smallint \nolimits^ — \frac{{dx}}{x}$

$\ln \left| u \right| = — {\text{ln}}\left| x \right|$

$u = \frac{1}{x}$

$x\frac{1}{x}v’ = sin2x$

$\frac{{dv}}{x} = sin2x$

$\int {dv = \int {\sin 2xdx} } $

$v =  — \frac{1}{2}{\text{cos}}2{\text{x}} + {\text{C}}$

Запишем общее решение уравнения

$y = \frac{1}{x}\left( { — \frac{1}{2}{\text{cos}}2{\text{x}} + {\text{C}}} \right)$

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.