Треугольник

Треугольник — это геометрическая фигура, которая имеет три стороны и три угла (вершины треугольника). По сути это самый простой многоугольник.

Виды треугольников

Рассмотрим виды треугольника, в зависимости от их свойств.

остроугольный треугольник

Рисунок 1

Если все углы острые, то такой треугольник — остроугольный (рис.1).

прямоугольный треугольник

Рисунок 2

Если один из углов прямой  ∠С=900, а остальные ∠A и ∠B — острые, то такой треугольник — прямоугольный (рис.2).

тупоугольный треугольник

Рисунок 3

Если один из углов тупой — ∠A, а остальные ∠C и ∠B — острые, то треугольник — тупоугольный (рис.3).

Равносторонний (правильный) треугольник

Равнобедренный треугольник


Произвольный треугольник

Свойства треугольника

  1. Сумма углов треугольника равна 180°, то есть (рис. 4):

α+β+γ=180°

 треугольник

Рисунок 4

2. Внешний угол равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов (рис. 5):

δ=α+β

треугольник

Рисунок 5

3. Неравенство треугольника заключается в том, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, но при этом больше их разности по модулю:

|a-b| < с <a+b 


Свойства высот треугольника

  1. Высоты треугольника пересекаются в одной точке, в точке M (рис.6). Эта точка называется ортоцентром.
  2. Высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам и формула имеет вид (рис.6):

формула высот и сторон треугольника

3. Формула для определения длины высоты к стороне a:

ha=b·sinC=c·sinB

или

формула высоты треугольника

где R — радиус описанной окружности (рис.7)

S — площадь Δ

Треугольник высоты

Рисунок 6


Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

треугольник

Рисунок 7

Формула для определения средней линии треугольника (рис.7):

формула средней линии треугольника

Формула периметра треугольника:

P=a+b+c

Формула полупериметр треугольника:

Формула полупериметра

Формулы для нахождения площади произвольного треугольника

Площадь треугольника по формуле Герона:

Формула Герона, где р — полупериметр.

Формула площади произвольного треугольника через две стороны и угла между ними (рис.8):

S=b·c·sinγ

Формула площади произвольного треугольника через высоту и основания (рис.8):

формула площади треугольника

где hb – высота опущенная на сторону b

Треугольник

Рисунок 8

Площадь треугольника через радиусы (рис.8):

Формула площади треугольника

S=rp

где

R — радиус описанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности в треугольник (рис.8):

Радиус вписанной окружности в треугольник

Радиус описанной окружности в треугольник (рис.8):

 

вписанная и описанная окружность в произвольный треугольник

Рисунок 8


См. также Признаки равенства и подобия треугольников

Теорема косинусов и теорема синусов

Медиана, высота и биссектриса треугольника

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.