Гипергеометрическое распределение

Дискретная случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение, если ее закон распределения имеет следующий вид:

Гипергеометрическое распределение формула

Этот закон распределения показывает вероятность того, что среди n  отобранных  изделий будет ровно m стандартных.

N — общее количество изделий;

M — количество стандартных изделий;

m=0, 1, 2,…, min (M,n)

Примечание

Отобранные изделия не возвращаются в партию

Формула для определения математического ожидания:
Формула математического ожидания для гипергеометрического закона распределенияФормула дисперсии:

Формула дисперсии для гипергеометрического закона распределения
или
Формула дисперсия


Пример 1

Среди 50 изделий 20 окрашенных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 5 изделий окажется ровно 3 окрашенных.

Решение
Здесь N = 50, M = 20, n = 5, m = 3.

Тогда вероятность равна:

$P\left( {X = 3} \right) = \frac{{C_{20}^3C_{30}^2}}{{C_{50}^5}} = 0,234$


Пример 2

В корзине 55 шариков, пронумерованы от 1 до 55. Составить закон распределения восьми угаданных шариков.

Решение

Всего шариков N=55, угадать требуется n=8 шариков.

m — количество угаданных шариков.

Для составления  закон распределения составим вспомогательные таблицы:

n M N N-M
8 8 55 47
n-m m $C_M^m$ $C_{N — M}^{n — m}$ $C_N^n$ P
8 0 1 314457495 1217566350 0,2582672353
7 1 8 62891499 1217566350 0,4132275765
6 2 28 10737573 1217566350 0,2469286737
5 3 56 1533939 1217566350 0,0705510496
4 4 70 178365 1217566350 0,0102545130
3 5 56 16215 1217566350 0,0007457828
2 6 28 1081 1217566350 0,0000248594
1 7 8 47 1217566350 0,0000003088
0 8 1 1 1217566350 0,0000000008

график гипергеометрическое распределение

На графике видно, что вероятность угадывания первого шарика превосходит над вероятностью не угадывания, т.е. P(m=1)>P(m=0). Вероятность угадывания от 5 P(m=5) и более шариков стремится к нулю.

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.