Вычисление определенного интеграла методом прямоугольников

Метод  прямоугольников предназначен для вычисления определённого интеграла и относится к приближенному методу вычисления интегралов.

Формулы для нахождения приближенного значения определённого интеграла методом прямоугольников имеют вид:

формула интегрирования методом прямоугольников

 Формула прямоугольников Погрешность формулы прямоугольников

формула метода прямоугольников

 

Метод прямоугольников график

График — метод прямоугольников

Погрешность значения формулы прямоугольников вычисляется по следующему выражению:

Погрешность формулы прямоугольников

f’’(x) – наибольшее значение производной |f’’(x)|, x(a, b)


Пример

Вычислить интеграл численным методом для функции:

$$\int\limits_0^1 {{e^x}dx} $$

Решение

Найдём значения x в диапазоне от 0 до 1 с шагом 0.1, всего 10 значений
x1/2=0,05
x3/2=0,15
x5/2=0,25
x7/2=0,35
x9/2=0,45
x11/2=0,55
x13/2=0,65
x15/2=0,75
x17/2=0,85
x19/2=0,95

Получившиеся значения подставим в функцию ex, получаем
y1/2=1,051271096
y3/2=1,161834243
y5/2=1,284025417
y7/2=1,419067549
y9/2=1,568312185
y11/2=1,733253018
y13/2=1,915540829
y15/2=2,117000017
y17/2=2,339646852
y19/2=2,585709659

Подставляя в формулу прямоугольников, найдём решения определённого интеграла:

$$I \approx \frac{{b — a}}{n}\sum y = \frac{{1 — 0}}{{10}}17,17566 = 1,717566$$

Погрешность равна 0,0007157

Для сравнения точности методов вычисления определённого интеграла см. решения этого же итеграла методом Симпсона и методом трапеций.

Точное аналитическое решение данного определённого интеграла см.здесь

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.