Гильбертовы пространства, их применение

Гильбертовы пространства, их применение.

Гильберт — легендарная личность и для физики тоже. Уравнения общей теории относительности — результат его творческой гениальности в не меньшей степени, чем гениальности Эйнштейна. Квантовая механика, в свою очередь, тесно связана с математической структурой, гильбертовым пространством. Кроме того, новый век стал свидетелем того, как немецкий математик очерчивает (не в полной мере осознавая это) новую область математического анализа — функциональный анализ.

Гильбертово пространство в функциональном анализе.

Функциональный анализ обобщает геометрические понятия w-мерного пространства (расстояние, теорема Пифагора и другие) до функциональных пространств бесконечной размерности. Среди этих пространств бесконечной размерности выделяется так называемое гильбертово пространство, построенное в области интегральных уравнений самим Гильбертом, но аксиоматизированное в связи с квантовой механикой его талантливым учеником Джоном фон Нейманом, который назвал пространство именем своего учителя около 1930 года.

Гильбертово пространство в зачаточном виде появляется в статье 1906 года (четвертой из шести статей об интегральных уравнениях и первой настоящей статье о функциональном анализе). Можно сказать, что гильбертово пространство образуют функции, являющиеся решением интегральных уравнений. Когда Гильберт изучал интегральное уравнение, ему в голову пришла идея рассмотреть особую систему функций, которая выполняла бы некоторые свойства (для тригонометрической системы — быть базисом функционального пространства) и свести решение уравнения к определению коэффициентов неизвестной функции относительно этой системы (точнее, координат неизвестной функции относительно этого базиса пространства). Рассматривая тригонометрическую систему, он старался найти неизвестную функцию, представив ее с помощью коэффициентов Фурье (бесконечной последовательности чисел, позволяющих выражать функцию интегрируемого квадрата в виде суммы тригонометрических функций, умноженных на эти числа). Коэффициенты, как он заметил, удовлетворяли условию конечности суммы их квадратов. После подстановки этих отождествлений (или разработок) в интегральное уравнение проблема преобразилась в проблему решения бесконечного числа линейных уравнений с бесконечными неизвестными (коэффициентами функций из суммируемого квадрата). Если в уравнении

$$x\left( t \right) + \mathop \smallint \limits_a^b K\left( {t,s} \right)x\left( s \right)ds = f\left( t \right)$$

представить функции x(t), f(t) и K(t, s) их коэффициентами Фурье, то это уравнение записывается как бесконечная система уравнений:

$${x_p} + \mathop \sum \limits_{q = 1}^\infty {k_{pq}}{x_q} = {f_p}p = 1,2,3 \ldots $$

при условии, что сумма различных коэффициентов в квадрате конечна, то есть

$$\mathop \sum \limits_{p = 1}^\infty x_p^2 < \infty $$

Таким образом, при переходе из царства непрерывного в царство дискретного интеграл преобразуется в сумму (аналогичную операцию).

Пространство всех последовательностей действительных чисел суммируемого квадрата (сегодня обозначаемое l₂), где нужно искать решение, — это и есть гильбертово пространство. В этом пространстве числовых последовательностей, по аналогии с обычным евклидовым пространством, Гильберт определил расстояние и распространил на него классические понятия предела, непрерывности и так далее. Как Гильберт, так и его лучшие ученики (в особенности Эрхард Шмидт) досконально исследовали это геометрическое сходство функционального пространства l₂ с обычным геометрическим пространством Rⁿ.  Вся теория о гильбертовых пространствах способствовала выходу на сцену первого известного пространства с бесконечным числом измерений в его каноническом представлении об l₂.

Свойство, доказательство неравенства треугольника, ортонормированная система, функции с интегрируемыми (по Лебегу) в Гильбертовом пространстве.

Будем говорить, что в линейном пространстве H введено скалярное произведение, если любой паре элементов ${h_{1,}}{h_2} \in H$ поставлено в соответствие комплексное число ${\left( {{h_{1,}}{h_2}} \right)_H} = {h_{1,}}{h_2}$  (скалярное произведение этих элементов), и это соответствие обладает следующими свойствами:

1) $\left( {{\rm{h}},{\rm{h}}} \right) \ge 0$ , причем $\left( {{\rm{h}},{\rm{h}}} \right) = 0$ только для h=0,

2) $({h_{1,}}{h_2}) = \left( {\overline {{h_{1,}}{h_2}} } \right)$ (в частности, $\left( {{\rm{h}},{\rm{h}}} \right) $ — вещественное число),

3) $(c{h_{1,}}{h_2}) = c({h_{1,}}{h_2})$ для любого комплексного c,

4) $({{\rm{h}}_{1,}} + {{\rm{h}}_2},{\rm{c}}) = ({{\rm{h}}_{1,}}{\rm{h}}) + ({{\rm{h}}_{2,}}{\rm{h}})$

Установим следующее важное неравенство Коши-Буняковского:

$${\left| {({h_{1,}}{h_2})} \right|^2} \le ({h_{1,}}{h_1})({h_{2,}}{h_2})$$,(1)

имеющее место для любых h₁ и h₂ из H. Если h₂=0, то неравенство (1) очевидно. Пусть ${h_2} \ne 0$. При произвольном комплексном t ,

$$0 \le ({h_1} + t{h_2},{h_1} + t{h_2}) = ({h_{1,}}{h_1}) + t\left( {\overline {{h_{1,}}{h_2}} } \right) + \bar t({h_{1,}}{h_2}) + {\left| t \right|^2}({h_{2,}}{h_2})$$

Если

$$t = — \frac{{({{\rm{h}}_{1,}}{{\rm{h}}_1})}}{{({{\rm{h}}_{2,}}{{\rm{h}}_2})}}$$

это неравенство принимает вид $({h_{1,}}{h_1}) — \frac{{({h_{1,}}{h_1})}}{{({h_{2,}}{h_2})}} \ge 0$, эквивалентный (1).

Скалярное произведение порождает в пространстве H норму

$$\left\| h \right\| = \sqrt {\left( {{\rm{h}},{\rm{h}}} \right)} $$

Тогда неравенство (1) запишется в виде:

$${\left| {({h_{1,}}{h_2})} \right|^2} \le \left\| {{h_1}} \right\|\left\| {{h_2}} \right\|$$

Все свойства нормы, кроме неравенства треугольника, очевидны. Для доказательства неравенства треугольника воспользуемся неравенством Коши- Буняковского

$${\left\| {{h_1} + {h_2}} \right\|^2} = \left\| {{h_1}^2} \right\| + ({h_{1,}}{h_2}) + ({h_{2,}}{h_1}) + \left\| {{h_2}^2} \right\| \le \left\| {{h_1}^2} \right\| + 2\left\| {{h_1}} \right\|\left\| {{h_2}} \right\| + \left\| {{h_2}^2} \right\| = {\left( {\left\| {{h_1} + {h_2}} \right\|} \right)^2}$$

Линейное пространство со скалярным произведением, полное в норме, порождаемой этим скалярным произведением (т.е. являющееся банаховым в этой норме), называется гильбертовым пространством.

Наличие в H скалярного произведения позволяет ввести в этом про­странстве не только норму (т.е. длину) элемента, но и угол между элемен­тами в вещественном гильбертовом пространстве: именно угол φ между векторами h₁ и h₂  и  определяется формулой:

$$\cos {\rm{\varphi }} = \frac{{({h_{1,}}{h_2})}}{{\left\| {{h_1}} \right\|\left\| {{h_2}} \right\|}}$$ (2)

При этом из неравенства Коши-Буняковского вытекает, что выражение для косинуса по модулю не превосходит 1, и, следовательно, формула (2) действительно для любых ненулевых h₁ и h₂ и  определяет некоторый угол

$$0 \le {\rm{\varphi }} \le {\rm{\pi }}$$

Если $({h_{1,}}{h_2}) = 0$, то из (2) получаем, что ${\rm{\varphi }} = \frac{{\rm{\pi }}}{2}$ в этом случае векторы h₁ и h₂ и  называются ортогональными.

Для нас наиболее важным является пример гильбертова пространства измеримых функций с интегрируемым (по Лебегу) квадратом модуля. Обозначим через L₂(a,b) множество всех измеримых функций f(x) на (a,b) таких, что существует (и конечный) интеграл

Очевидно, что это линейное пространство. Введем теперь в нем скалярное произведение по формуле:

$${\left( {f,g} \right)_{{L_2}\left( {a,b} \right)}} = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)g\left( x \right)dx$$

Одним из самых важных свойств сепарабельных гильбертовых пространств является существование ортонормированного базиса. Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство. Для определенности будем считать, что H является бесконечномерным пространством. Множество элементов {x_n} из пространства H называется ортонормированной системой, если выполнено:

$${\left( {{{\rm{x}}_{\rm{n}}},{{\rm{x}}_{\rm{m}}}} \right)_{\rm{H}}} = 0,n \ne m$$

$${\left( {{{\rm{x}}_{\rm{n}}},{{\rm{x}}_{\rm{n}}}} \right)_{\rm{H}}} = 1$$

Любая ортонормированная система является и линейно независимой системой. При этом из любой линейно независимой системы (конечной или счетной) можно построить ортонормированную систему с помощью процедуры ортогонализации Гильберта-Шмидта. Пусть {y_n} линейно независимая система элементов пространства H, тогда существует такая ортонормированная система {x_n}, которая выражается через {y_n} линейным образом:

$${x_n} = \mathop \sum \limits_{k = 1}^n {\lambda _{kn}}{y_k},n = 1,2, \ldots \ldots $$

Ортонормированная система e_n называется ортонормированным базисом в пространстве H, если любой элемент ${\rm{\varphi }} \in H$ представляется в виде

$${\rm{\varphi }} = \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {c_n}{e_n}$$

где ряд сходится в пространстве H. Этот ряд называется рядом Фурье в пространстве H, а коэффициенты c_n называются коэффициентами Фурье.

Для фиксированного базиса разложение в ряд Фурье является единственным. При этом коэффициенты Фурье вычисляются по формуле:

$${{\rm{c}}_{\rm{n}}} = {\left( {\varphi ,{{\rm{e}}_{\rm{n}}}} \right)_{\rm{H}}}$$

Для ортонормированного базиса и любого элемента φ верно равенство Парсеваля

$${\rm{\varphi }}_{\rm{H}}^2 = \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {\left| {{c_n}} \right|^2}$$

Пример. Рассмотрим гильбертово пространство L₂(0,π). В этом множество функций

$${e_n} = \sqrt {\frac{2}{\pi }} \sin nx$$

является ортонормированным базисом.

Мы рассматривали в качестве гильбертовых пространств пространство Лебега L₂. Другим примером пространства Гильберта является простран­ство l₂, состоящее из числовых последовательностей $a = \left( {{a_1},{a_2}, \ldots } \right)$  таких, что

$$\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {\left| {{a_n}} \right|^2} < \infty$$

В пространстве l₂ можно ввести скалярное произведение по формуле

$${\left( {a,{\rm{b}}} \right)_{{{\rm{l}}_2}}} = \mathop \sum \limits_{{\rm{n}} = 1}^\infty {{\rm{a}}_{\rm{n}}}{{\rm{\bar b}}_{\rm{n}}}$$

С нормой, индуцированной этим скалярным произведением, пространство l₂ является гильбертовым.

Рассмотрим теперь произвольное сепарабельное (бесконечномерное) пространство H с ортонормированным базисом e_n. Тогда для любого элемента ф Е H коэффициенты Фурье, которые мы обозначим через $c = \left( {{c_1},{c_2}, \ldots } \right)$, являются элементом пространства l₂, причем в силу равенства Парсеваля мы имеем

$$\left\| {\rm{\varphi }} \right\|H = \left\| c \right\|{l_2}$$

Можно показать, что все сепарабельные бесконечномерные пространства изоморфны пространству l₂  и соответственно между собой.

Приложение гильбертова пространства в радиоэлектронике.

Рассмотрим здесь одно из наиболее распространенных и важных для приложений понятий бесконечномерного пространства.

рис. 1

Рассмотрим электрические колебания, возникающие в цепочке связанных между собой электрических контуров (рис. 1).

Состояние такой цепочки выражается набором n чисел ${u_1},{u_2}, \ldots ,{u_n}$, где u_i — напряжение на конденсаторе i-го контура цепочки. Совокупность n чисел $({u_1},{u_2}, \ldots ,{u_n})$,  является вектором n-мерного пространства.

Представим себе теперь двухпроводную линию, т. е. линию, состоящую из двух проводов, имеющих конечную емкость и индуктивность, распределенные вдоль линии. Электрическое состояние линии выражается некоторой функцией u(х), задающей распределение напряжения вдоль линии. Эта функция является — вектором бесконечномерного пространства функций, заданных на интервале (а, b).

Вектор n-мерного пространства определялся как совокупность n чисел f_i где i меняется от 1 до n. Аналогично, вектор бесконечномерного пространства определяется как функция f(х), где x меняется от а до b.

Сложение векторов и умножение вектора на число определяется как сложение функций и умножение функции на число.

Длина вектора f в n-мерном пространстве определялась формулой

$$\sqrt {\mathop \sum \limits_{{\rm{i}} = 1}^{\rm{n}} {\rm{f}}_{\rm{i}}^2} $$

Так как для функций роль суммы играет интеграл, то длина вектора f(х) гильбертова пространства задается формулой

$$\sqrt {\mathop \smallint \limits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {{\rm{f}}^2}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}}} $$

В качестве функций вектора гильбертова пространства следует взять все функции, для которых имеет смысл интеграл $\mathop \smallint \limits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {{\rm{f}}^2}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}}$

Казалось бы естественным ограничиться непрерывными функциями, для которых $\mathop \smallint \limits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {{\rm{f}}^2}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}}$ заведомо всегда существует. Однако наибольшую законченность и естественность теория гильбертова пространства получает, если интеграл $\mathop \smallint \limits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {{\rm{f}}^2}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}}$ понимать в обобщенном смысле, а именно в смысле так называемого интеграла Лебега.

Это расширение понятия интеграла (и соответственно — класса рассматриваемых функций) необходимо для функционального анализа так же, как для обоснования дифференциального и интегрального исчисления необходима строгая теория действительных чисел. Таким образом, созданное в начале XX в. в связи с развитием теории функций действительного переменного обобщение обычного понятия интеграла оказалось весьма существенным для функционального анализа и связанных с ним разделов математики.

Пространство кет-векторов как Гильбертово пространство.

Аналогом фазового пространства классической физики в квантовой механике является Гильбертово пространство. Гильбертово (Н) пространство — бесконечномерное пространство векторов с конечной нормой (длиной),

$\left\| V \right\| = \sqrt {\vec V,\vec V} < \infty $, соответствующее множеству квадратично-интегрируемых функций

$$f\left( {\mathop \smallint \limits_{ — \infty }^\infty {{\left| f \right|}^2}dx < \infty } \right)$$

Волновые функции Шредингера, ψ (удовлетворяющие уравнению Шредингера $- \frac{{{^2}}}{{2m}}{\nabla ^2}{\rm{\psi }} + {\rm{\hat U\psi }} = {\rm{E\psi }}$) — непрерывные комплексно-значные функции от действительных переменных. Множество функций ψ одинакового аргумента (а именно такими являются волновые функции Шредингера) образует линейное векторное пространство, где функции являются векторами этого пространства (а, точнее, одномерными подпространствами этого пространства). Постулировав конечность нормы волновой функции, Поль Дирак «подогнал» пространство волновых функций под Гильбертово пространство. Для выделения векторных свойств волновых функций Дирак предложил использовать скобки (бра и кет, что вместе означает «скобки», англ. bracket), и сопоставил волновой функции Шредингера кет-вектор Гильбертова пространства:

$${{\rm{\psi }}_A}\left( x \right) \leftrightarrow |A\rangle $$

Каждому состоянию частицы соответствует прямая линия (координатная ось) в Гильбертовом пространстве. Таких состояний для реальной квантовой частицы в природе — бесконечное число (с учетом бесконечного числа положений частицы), следовательно, и кет-векторов (а, точнее, независимых осей, соответствующих «измерениям» пространства), описывающих эти состояния — также бесконечное число.

Кет-вектор некоторого состояния частицы А, $|A\rangle $, соответствующий волновой функции ${{\rm{\psi }}_A}\left( x \right)$, представляется в виде бесконечного столбца из значений функций ${{\rm{\psi }}_A}\left( x \right)$ в каждой точке x:

$$\left| A \right. \leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \ldots \\{{{\rm{\psi }}_A}\left( x \right)}\\ \ldots \end{array}} \right)$$

Таким образом, роль координат кет-вектора $|A\rangle $ в Гильбертовом пространстве играют все возможные значения соответствующей ему функции ${{\rm{\psi }}_A}\left( x \right)$.

Заключение.

Гильберт еще в начале века установил основы пространства бесконечной размерности. Но волей судеб такая абстрактная математическая теория, задуманная с опережением в 20 лет, подошла к замку квантовой механики. С тех пор математическая структура квантовой физики сопряжена с гильбертовым пространством. Описание состояния квантовой системы делается через вектор этого пространства. И физические величины изучаются с помощью операторов, определенных в гильбертовом пространстве. В результате появления квантовой механики теория гильбертовых пространств оказалась аксиоматически обоснованной, чему Гильберт был свидетелем.

Литература

1. Мессиан А., Квантовая механика, том 2, пер. с фр., М.: Наука, 1979
2. Дирак П.А., Принципы квантовой механики, изд. 2 пер. с англ., М.: Наука, 1979
3. Шамин Р.В. Полугруппы операторов. — М.: РУДН, 2008. — 173 с.
4. Александров П. С. Введение в теорию групп. Учпедгиз, 1952.
5. Ван дер Варден. Современная алгебра, ч. 1 и II. Гостехи8да1, 1947. Джекобсов Н. Теория колец. ИЛ, 1947.
6. Гильберт. Основания математики. / Пер. с исп. — М.: Де Агостини, 2015. — 176 с.
7. Курош А. Г. Теория групп. Гостехиздат, 1953.
8. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. Гостехиздат, 1954.