Закон охлаждения Ньютона

Закон охлаждения Ньютона был сформулирован английским физиком и математиком Исааком Ньютоном в 1701 году. Он исследовал процесс охлаждения горячих тел и пришел к выводу, что скорость охлаждения пропорциональна разности температур тела и окружающей среды.

Закон охлаждения Ньютона описывает, как температура нагретого объекта изменяется со временем при контакте с окружающей средой.

Предположим, у нас есть горячий предмет (например, чашка кофе) с начальной температурой T₀, которая отличается от температуры окружающей среды T_окр. Тогда скорость изменения температуры $\frac {dT}{dt}$ объекта будет пропорциональна разности температур между объектом и окружающей средой.

Математически, закон охлаждения  Ньютона Рихмана можно записать в виде дифференциального уравнения:

$$\frac{dT}{dt} = k(T_0 — T_{окр})$$

где

где:
T(t) — температура объекта в момент времени t;
T₀ — начальная температура объекта;
T_окр — температура окружающей среды;
k — коэффициент охлаждения или теплоотдачи, который зависит от свойств объекта и окружающей среды;

t — время.

Это дифференциальное уравнение описывает, как температура объекта меняется со временем в результате потери тепла в окружающую среду. Решив это уравнение, можно предсказать, как быстро объект остынет и как его температура будет меняться во времени.

---

Пример

Скорость охлаждения какого-либо тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Если температура воздуха равна 20° С и тело в течение 20 мин охлаждается от 100° С до 60° С, то через сколько времени его температура понизится до 30° С.

Решение

Решив уравнение

$$\frac{dT}{dt} = k(T_0 — 20)$$

получим

$$T_0 — 20 = Сe^{kt}$$

Найдём C при начальных условиях t=0, T₀=100 ⁰C.

$$100 — 20 = Сe^{0t}$$

отсюда С=80, подставляя в уравнение, получаем

$$T_0 — 20 = 80e^{kt}$$

Подставим в уравнения условия при t=20 мин и T₀=60 ⁰C и найдем коэффициент k.

$$60 — 20 = 80e^{20k}$$

Решая, находим к

$$k =\dfrac{ln\dfrac{1}{2}}{20}t$$

Теперь найдем через сколько времени температура понизится до 30° С.

$$30 — 20 = 80e^{\dfrac{ln\dfrac{1}{2}}{20}t}$$

Решая уравнения, находим

$$t=60 мин$$