Закон распределения дискретной случайной величины

Закон распределения дискретной случайной величины (ДСВ) представляет собой соответствие между значениями х1, х2,…,хn этой величины  и их вероятностями p1, p2,…,pn

 Может быть задан аналитически, графически или таблично.

Самый простой способ представления закона распределения дискретной случайной величины — в виде таблицы ряда распределения, то есть

X x1 x2 …… xn
P p1 p2 …… pn

х1, х2,…,хn — значения дискретной случайной  величины;
p1, p2,…,pn — вероятности значений X дискретной случайной  величина.
Также должно выполняться условия, что сумма вероятностей равна 1, то есть
∑p=p1+p2+ … +pn=1
Графически закон распределения ДСВ задается в виде многоугольника распределения см. здесь., а аналитически, например, с применением формулы Бернулли.Рассмотрим примеры


Пример 1
Монета подбрасывается 10 раз, герб выпал 6 раз, а орел — 4 раза. Составить закон распределения дискретной случайной величины.
Решение
Вероятности равны:
p1(6)=6/10=0,6;
p2(4)=4/10=0,4

X 6 4
P 0.6 0.4

Пример 2
Из корзины извлечено 4 белых шара, 6 черных, 8 синих и 2 красных шара. Найти закон распределения случайной величины X возможного выигрыша на один билет.
Решение
Объем выборки равен
n=4+6+8+2=20
X принимает следующие значения:
x1=4; x2=6; x3=8; x1=2
Найдем их вероятности:

p1(4)=4/20=0,2;
p2(6)=6/20=0,3;
p3(8)=8/20=0,4;
p4(2)=2/20=0,1
Получаем таблицу закона распределения дискретной случайной величины

X 4 6 8 2
P 0.2 0.3 0.4 0.1

Пример 3
По контрольной работе по математике школьники получили оценки:
удовлетворительно — 5 человек;
хорошо — 13 человек;
отлично — 7 человек.
Составьте таблицу закона распределения ДСВ
Решение

n=5+13+7=26

Вычислим вероятности:

  p1(5)=5/25=0,2;
p2(13)=13/25=0,52;
  p3(7)=7/25=0,28

Таблица имеет вид:

X 5 13 8 2
P 0.2 0.52 0.28 0.1

Пример 4
Партия из 8 изделий содержит 5 стандартных. Наудачу отбираются 3 изделия. Составить таблицу закона распределения числа стандартных изделий среди отобранных.
Решение
Для составления закона распределения воспользуемся формулой комбинаторики сочетание без повторений, то есть всего 8 изделия, а отобрать необходимо 3 изделия получаем:
пример
при P(X=0) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий не окажется ни одного стандартного;
при P(X=1) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий окажется одно стандартное и два нестандартных изделия;
при P(X=2) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий окажется два стандартных и одно нестандартное изделие;
при P(X=3) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий все три изделия стандартные.
Закон распределения дискретной случайной величины решение
Составим таблицу распределения

X 0 1 2 3
P 0.018 0.268 0.536 0.178

Пример 5
В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X — числа стандартных деталей среди отобранных.

Решение

Возможные варианты значений СВ X: 1, 2, 3

$n=C_6^3$ — числу способов,   которыми   можно   выбрать   три   детали   из   шести;

$C_4^x$  — число способов, которыми из четырех деталей выбирают х деталей.

$C_2^{3 — x}$ — общее число способов отбора нестандартных деталей

Тогда вероятности события A вычисляются по формуле

формула для расчета закона распределения ДСВ

Закон распределения дискретной случайной величины X для составления ряда распределения:

Вычисления ряда распределения

Получаем таблицу ряда распределения ДСВ

X 0 1 2 3
P 0 0.2 0.6 0.2

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.