Формула полной вероятности

Пусть совокупность событий H1,H2,…,Hn — образуют полную группу событий, а также их объединение даёт достоверное событие и они попарно несовместные. В случае наступления каждого из событий Hi, событие А может настать с некоторой условной вероятностью PHi·(A)

События Hi называют  гипотезами.

Запишем формулу полной вероятности:

P(A)=P(H1)·PH1(A)+P(H2)·PH2(A)+…+P(Hn)

или эту формулу можно представить в следующем виде:

Формула полной вероятности


Пример 1

В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

Решение

А — «мишень поражена»

H: «выстрел из винтовки с оптическим прицелом»

H: «выстрел из винтовки без оптического прицела»

Находим вероятности

  Р(H1)=3/5=0.6, Р(H2) =2/5=0.4

РH1(А)=0.95, РH2(А)=0.7

Итак, по формуле полной вероятности находим вероятность

  Р(А)=P(H1)·PH1(A)+P(H2)·PH2(A)=0,57·0,92+0,43·0,8=0,524+0,344=0,868


Пример 2

В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавто­мата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.

Решение

А — «до конца расчета машина не выйдет из строя»

H1 — «клавишный автомат не выйдет из строя»

H2 — «полуавтомат не выйдет из строя»

Из условия задачи получаем

Р(H1)=6/10=0,6    Р(H2)=4/10=0,4

Условные вероятности равны

РH1(А)=0.95, РH2(А)=0.8

Воспользуемся формулу полной вероятности, имеем:

  Р(А)=P(H1)·PH1(A)+P(H2)·PH2(A)=

=0,6·0,95+0,4·0,8=0,89


Пример 3

Экзамен сдают студенты трех групп. В первой группе 7, во второй 6 и в третьей 8 студентов. Студент из первой группы сдаст экзамен с вероятностью 0.9, из второй группы с вероятностью 0.8 и из третьей группы с вероятностью 0.7. С какой вероятностью сдаст экзамен случайно вызванный студент?

Решение

Cобитые А«случайно вызванный студент сдаст экзамен»

Н1: студент из 1-ой группы

Р(H1)=7/21;    Р(A|H1)=0.9

Н2: студент из 2-ой группы

Р(H2)=6/21;    Р(A|H2)=0.8

Н3: студент из 3-ей группы

Р(H3)=8/21;    Р(A|H3)=0.7

По формуле полной вероятности получаем:

Р(А)=P(H1)·Р(A|H1)+P(H2)·Р(A|H2)+P(H3)·P(A|H3)=

=7/21·0.9+6/21·0.8+8/21·0.7=0.795


Пример 4

В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

Решение

A«наудачу извлечённый из двух выбранных шаров — белый шар»

  H1: «шар извлечен из первой урны»

  H2: «шар извлечен из второй урны»

 По условию задачи, следует, что из каждой урны извлекается одинаковое количество шаров, тогда получаем вероятности

Р(H1)=Р(H2)=1/2

Найдем условные вероятности того, что из первой урны

  РH1(A)=8/10=3/10

и второй урны извлечен белый шар

  РH2(A)=4/20=1/5

Применяя формулу полной вероятности, найдем вероятность того, что взят белый шар

  Р(А)=P(H1)·PH1(A)+P(H2)·PH2(A)=

=1/2·4/5+1/2·1/5=1/2

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.