Формула Байеса

Формула Байеса имеет вид:

Формула Бейеса

Здесь событие А может произойти в случае появлении одного из несовместных событий Н1, Н2, Н3,…,Нn.

H — гипотеза.

Рассмотрим применение формулы Байеса при решении типовых задач.


Пример 1
В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?
Решение
А«стрелок поразил мишень».
H1«мишень поражена из оптической винтовки»
H2 — «мишень поражена из винтовки без оптического прицела»
Р(H1)=4/10=0.4, Р(H2)=6/10=0.6
Условные вероятности из условия задачи равны
Р(H1|А)=0.95, Р(H2|А)=0.8
Применим формулу полной вероятности и найдём вероятность события А:
  Р(А)=Р(H1)·Р(H1|А)+Р(H2)·Р(H2|А)=
=0.4·0.95+0.6·0.8=0,86
Воспользуемся формулой Байеса, найдем вероятности РА(H1) и РА(H2):
Формула Байеса пример с решением
Из решения следует, что
РА(H1)<РА(H2)
значит вероятнее всего, что стрелок стрелял из винтовки без оптического прицела.


Пример 2

Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму — 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым — 0,98. стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.

Решение
А — «изделие при проверке было признано не бракованным»

Н1«изделие попало к первому товароведу»
Н2«изделие попало ко второму товароведу»

Р(H2)=0.55, Р(H1)=0.45

Условные вероятности того, что изделия признаны стандартным первым и вторым товароведами равны

Р(H1|А)=0.9, Р(H2|А)=0.98

Применим формулу Байеса, чтобы найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед:

Формула Байеса решение задачи


Пример 3

Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответ­ственно равны 0,6, 0,5 и 0,4.

Решение
А — «два стрелка поразили мишень»

H1«третий стрелок поразил мишень» 

H2«третий стрелок промахнулся»

Р(H1)=0.4, Р(H2)=1-Р(H1)=1-0.4=0.6

Найдем условную вероятность Р(H1|А) того, что мишень будет поражена первым или вторым орудиями и при этом третье орудие попала в цель. 

Р(H1|А)=p1·q2+q1·p2

р1  — вероятность попадания первым стрелком;

р2  — вероятность попадания вторым стрелком;

q— вероятность промаха первым стрелком;

q— вероятность промаха вторым стрелком.

Р(H1|А)=0.6·(1-0.5)+(1-0.6)·0.5=0.3+0.2=0.5

Условная вероятность того, что цель будет поражена первым и вторым стрелком, при условии, что третье орудие не поразило цель. Так как события независимые, применяем теорему умножения, получаем:

Р(H2|А)=p1·p2=0.6·0.5=0,42

По формуле Байеса, получаем

решение по формуле Байеса


Пример 4

На трех дочерей: Машу, Дашу и Наташу в семье возложена обязанность мыть посуду. Поскольку Маша старшая ей приходится выполнять 40 % работы. Остальные 60 % делят между собой Даша и Наташа. Когда Маша моет посуду, вероятность разбить равна 0,02, для Даши — 0,02, для Наташи — 0,03. Родители не знают, кто вечером мыл посуду, но слышали звон разбитой тарелки. Какова вероятность того, что посуду мыла а) Маша, б) Даша, в) Наташа.

Решение

Событие А – тарелка разбита.

Н1 – мыла Маша;

Н2 – мыла Даша;

Н3 – мыла Наташа.

Р(Н1)=0,4; Р(Н2)=0,3; Р(Н3)=0,3

Из условия задачи Р(H1|А)=0,02, Р(H2|А)=0,02, Р(H2|А)=0,03

Таким образом, пользуясь формулой Байеса, получаем решения для каждого случая:

Формула Байес пример

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.