Понятие числового ряда

Числовой ряд – это бесконечная последовательность суммы чисел u1, u2,…un

числовой ряд

u1 ,u2 ,u3 … un … – члены числового ряда

un  – общий член числового ряда.

Положительным рядом называют такой ряд, у которого все члены неотрицательны, т.е.

u1+u2+u3+…+un+…

Ряд сходится, если существует и конечен предел последовательности его частичных сумм, т.е.

формула

S — сумма ряда.

Числовой ряд расходится, если этот предел бесконечен или не существует.

Условия эквивалентности бесконечно малых, которые применяются к рядам:

Условия эквивалентности бесконечно малых

В случае применения признаков сравнения исследуемый ряд часто сравнивают с рядом геометрической прогрессии или с рядом Дирихле.


1. Ряд геометрической прогрессии

Пусть дан ряд геометрической прогрессии вида (здесь q — член числового ряда):

$\sum\limits_{n = 1}^\infty  {a \cdot {q^n}} $

$$a + aq + a{q^2} + … + a{q^{n — 1}} + …\quad (a \ne 0)$$

Сумма такого ряда определяется по формуле геометрической прогрессии:

формула геометрическая прогрессия

При |q|<1 — ряд сходится, а при |q|>1 — ряд расходится


2. Ряд Дирихле


Пример 1

Дан гармонический ряд

гармонический ряд

Решение

Гармонический ряд расходится, так как


Пример 2

Исследовать на сходимость ряд:

$$\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{{2^n}}}} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{24}} + …$$

Решение

Ряд представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию

Тогда

$a = \frac{2}{3}$,  $$q = \frac{1}{2}$$

Имеем

$S = \frac{{\frac{2}{3}}}{{1 — \frac{1}{2}}} = \frac{4}{3}$

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.