Экстремум функции двух переменных

Рассмотрим достаточное условия экстремума функции двух переменных.

Выражение:

формула

   

I. Если D(x0, y0) > 0, то в точке M(х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум,

в случае, если

функция производной меньше нуля

максимум,

если

функция производной больше нуляминимум.

II. Если D(x0, y0) < 0, то в точке M(х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума.

III. Если D = 0, то наличие экстремума под вопросом.


Пример

Найти экстремум функции

z = 2x3 + 2y3 — 6xy + 7

Решение

Находим частные производные первого порядка

частные производные первого порядка

Находим критические точки, решая нелинейную систему уравнений:

нелинейная система уравнений

получаем две точки ${M_1}\left( {0,\,\,0} \right)$ и ${M_2}\left( {1,\,\,1} \right)$

Находим частные производные второго порядка:

частные производные второго порядка

Для точки  имеем ${M_1}\left( {0,\,\,0} \right)$:

$A = 0,\,\,B =  — 6,\,\,C = 0$

и

  $\Delta  = AC — {B^2} =  — 36 < 0$

Отсюда следует, что в точке  экстремума нет.

Для точки ${M_2}\left( {1,\,\,1} \right)$ имеем:

$A = 6,\,\,B =  — 6,\,\,C = 12$

и

  $\Delta  = AC — {B^2} = 36 > 0$

Отсюда следует, что точке  заданная функция имеет минимум.

Найдем эту точку

zmin = 2 ·13 + 2 ·1— 6 ·1 · 1 + 7 = 5

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.