Применение дифференциала первого порядка в приближенных вычислениях

Формула приближенного вычисления дифференциала:

формула вычисления дифференциала

 Рассмотри пример нахождения дифференциала первого порядка в приближенных вычислениях.


Пример

 Найти приближенно значение функции $f\left( {x,y} \right) = {x^3}{y^3}$ в точке M(2,03; 0,99)

Решение

Имеем

х0 = 2, y0 = 1

х= 2,03, y = 0,99

Найдем приращения аргументов:

Δx = х — х0

Δx=2,03-2=0,03

Δy = у – у0

Δy = 0,99-1=-0,01

$f\left( {{x_0},{y_0}} \right) = {2^3} \cdot {1^3} = 8$

$\frac{{\partial {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{f}}\,}}{{\partial {\text{x}}}} = 3{x^2}{y^3}$

$\frac{{\partial {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{f}}\,{\text{(}}{{\text{x}}_{\text{0}}}{\text{,}}{{\text{y}}_{\text{0}}}{\text{)}}}}{{\partial {\text{x}}}} = 3 \cdot {2^2} \cdot {1^3} = 12$

$\frac{{\partial {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{f}}\,}}{{\partial {\text{x}}}} = 3{x^3}{y^2}$

$\frac{{\partial {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{f}}\,{\text{(}}{{\text{x}}_{\text{0}}}{\text{,}}{{\text{y}}_{\text{0}}}{\text{)}}}}{{\partial {\text{x}}}} = 3 \cdot {2^3} \cdot {1^2} = 24$

f (2,03; 0,99) ≈8 + 12*0,03 + 24*( -0,01) ≈8,12

Для проверки на калькуляторе, получаем значение функции

f (2,03; 0,99)≈8,11696

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.