Уравнение Эйлера

Равенство вида:

$${e^{x + iy}} = {e^x}(\cos y + i\sin y)$$

называется уравнением Эйлера

Это уравнение определяется из равенства

$${e^z} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{z}{n}} \right)^n}$$

Если примем , то получим соотношение:

$${e^{iy}} = \cos y + i\sin y$$

$$\eqalign{& {e^{i\pi /4}} = \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right) =   \cr &  = \frac{{\sqrt 2 }}{2} + i\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \cr} $$

В частности запишем равенство для комплексно–сопряженного числа:

$${e^{ — iy}} = \cos y — i\sin y$$

Из этих уравнений получаем:

Если комплексное число записать в тригонометрической форме:

$$z = r(\cos \phi  + i\sin \phi )$$

и подставить в него уравнение Эйлера:

$${e^{i\phi }} = \cos \phi  + i\sin \phi $$

то получим показательную форму комплексного числа

$$z = |r|{e^{i\phi }}$$