Действия над комплексными числами в показательной форме

Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:


I. Умножение

$${e^{{z_1} + {z_2}}} = {e^{{z_1}}}{e^{{z_2}}}$$

$$\displaylines{{z_1} = {z_2} \cdot {z_3} = 2{e^{7i}} \cdot 5{e^{ — 5i}} =  \cr = 2 \cdot 5{e^{i(7 + ( — 5))}} = 10{e^{2i}} \cr} $$


II. Деление

$${e^{{z_1} — {z_2}}} = \frac{{{e^{{z_1}}}}}{{{e^{{z_2}}}}}$$

$$\displaylines{z = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{2{e^{7i}}}}{{5{e^{ — 5i}}}} =  \cr= \frac{2}{5}{e^{i(7 — ( — 5))}} = \frac{2}{5}{e^{12i}} \cr} $$


III.

$${({e^z})^m} = {e^{mz}}$$


IV. Возведение в степень.

Из операции умножения комплексных чисел следует, что

$${z^2} = zz = {r^2}(\cos 2\phi  + i\sin 2\phi )$$

В общем случае получим:

$${z^n} = {(r(\cos \phi  + i\;\sin \phi \;))^n}$$

$${z^n} = {r^n}(\cos n\phi  + i\;\sin n\phi \;)$$

n – целое положительное число.

Это выражение называется формулой Муавра.

$$\displaylines{{\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right)} \right]^3} = \cr = \cos \left[ {3 \cdot \left( {\frac{\pi }{3}} \right)} \right] + i\sin \left[ {3 \cdot \left( {\frac{\pi }{3}} \right)} \right] = \cr = \cos \pi + i\sin \pi = — 1 + i \cdot 0 = — 1 \cr} $$


V. Извлечение корня:

$$\root n \of z  = \root n \of {r(\cos \phi  + i\sin \phi )} $$

$$\root n \of z  = \root n \of r \left( {\cos \frac{{\phi  + 2\pi k}}{n} + i\sin \frac{{\phi  + 2\pi k}}{n}} \right)$$

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.