Алгебраические действия над комплексными числами

Алгебраические действия над комплексными числами включает сложение, вычитание, умножение, деление. Рассмотрим их.


I. Сложение и вычитание:

$$z = {z_1} \pm {z_2}$$

$$z = ({a_1} + i{b_1}) \pm ({a_2} + i{b_2})$$

$$z = ({a_1} \pm {a_2}) + i({b_1} \pm {b_2})$$

$$\eqalign{ & {z_1} = {z_2} + {z_3} =   \cr&  = ( — 2 + 5i) + (3 — 7i) = 1 — 2i \cr} $$

$$\eqalign{ & {z_1} = {z_2} — {z_3} =   \cr &  = ( — 2 + 5i) — (3 — 7i) =  — 5 + 12i \cr} $$


II. Умножение:

$$\eqalign{& z = {z_1}\cdot{z_2} = ({a_1} + i{b_1})({a_2} + i{b_2}) =   \cr &  = {a_1}{a_2} + i{a_1}{b_2} + i{b_1}{a_2} + {i^2}{b_1}{b_2} \cr} $$

$$\eqalign{ & {z_1} = {z_2} \cdot {z_3} =   \cr&  = ( — 2 + 5i) \cdot (3 — 7i) =   \cr&  =  — 6 + 14i + 15i + 35 = 29 + 29i \cr} $$

В случае умножения комплексно – сопряженных чисел:

$$\eqalign{& z\bar z = (a + ib)(a — ib) =   \cr&  = {a^2} + {b^2} = {\left| z \right|^2} = {\left| {\bar z} \right|^2} \cr} $$


III. Деление:

$$\eqalign{ & z = \frac{{({a_1} + i{b_1})({a_2} — i{b_2})}}{{({a_2} + i{b_2})({a_2} — i{b_2})}} =   \cr&  = \frac{{({a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}) + i({a_2}{b_1} — {a_1}{b_2})}}{{a_2^2 + b_2^2}} \cr} $$

$$\eqalign{ & {z_1} = \frac{{{z_2}}}{{{z_3}}} = \frac{{ — 2 + 5i}}{{3 — 7i}} =   \cr &  = \frac{{( — 2 + 5i)(3 + 7i)}}{{(3 — 7i)(3 + 7i)}} =   \cr &  = \frac{{ — 6 — 14i + 15i + 35{i^2}}}{{9 — 49{i^2}}} =   \cr&  = \frac{{29 + i}}{{58}} = 0,5 + \frac{i}{{58}} \cr} $$

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.