Тригонометрическая форма комплексного числа

Тригонометрическую форму записи комплексного числа можно представить в виде:

$$z = a + ib = r\cos \phi  + ir\sin \phi $$

$$z = r(\cos \phi  + i\sin \phi )$$

Модуль комплексного числа $r$ определяется по формуле:

$$r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$

$$\cos \phi=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$

$$\sin \phi=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$


Дополнительные сведения.

Здесь, из геометрических закономерностей  $a = r\cos \phi ,\quad b = r\sin \phi $       

$r$ — модуль комплексного числа

$φ$ (угол наклона) — аргумент комплексного числа.         

также

$$r = \left| z \right| = \left| {a + ib} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $$

$$\phi  = Arg\,z = arctg\frac{b}{a}$$

Из этого следует, что комплексно–сопряженные числа имеют противоположные аргументы и одинаковые модули

$$\eqalign{& Arg\,z =  — Arg\,\bar z  \cr& \left| z \right| = \left| {\bar z} \right| \cr} $$


Пример

Записать в тригонометрической форме комплексное число (найти тригонометрическую форму комплексного числа):

$$-2\sqrt{3}+2i$$

Решение

Найдем модуль числа

$$r=\sqrt{-2\sqrt{3}^{2}+2i^{2}}=4$$

и значения углов

$$\cos \phi=\frac{-2\sqrt{3}}{4}=\frac{-\sqrt{3}}{2}$$

$$\sin \phi=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Отсюда 

$$\phi=\frac{5\pi}{6}$$ при $$x\in[-\pi ;\pi ]$$

Таким образом получаем решение, по условию задачи, запишем в тригонометрической форме комплексное число

$$z=4(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6})$$

583

Leave a Reply

Ваш адрес email не будет опубликован.