Тригонометрическую форму записи комплексного числа можно представить в виде:
$$z = a + ib = r\cos \phi + ir\sin \phi $$
$$z = r(\cos \phi + i\sin \phi )$$
Модуль комплексного числа $r$ определяется по формуле:
$$r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$
$$\cos \phi=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$
$$\sin \phi=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$
Дополнительные сведения.
Здесь, из геометрических закономерностей $a = r\cos \phi ,\quad b = r\sin \phi $
$r$ — модуль комплексного числа
$φ$ (угол наклона) — аргумент комплексного числа.
также
$$r = \left| z \right| = \left| {a + ib} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $$
$$\phi = Arg\,z = arctg\frac{b}{a}$$
Из этого следует, что комплексно–сопряженные числа имеют противоположные аргументы и одинаковые модули
$$\eqalign{& Arg\,z = — Arg\,\bar z \cr& \left| z \right| = \left| {\bar z} \right| \cr} $$
Пример
Записать в тригонометрической форме комплексное число (найти тригонометрическую форму комплексного числа):
$$-2\sqrt{3}+2i$$
Решение
Найдем модуль числа
$$r=\sqrt{-2\sqrt{3}^{2}+2i^{2}}=4$$
и значения углов
$$\cos \phi=\frac{-2\sqrt{3}}{4}=\frac{-\sqrt{3}}{2}$$
$$\sin \phi=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$
Отсюда
$$\phi=\frac{5\pi}{6}$$ при $$x\in[-\pi ;\pi ]$$
Таким образом получаем решение, по условию задачи, запишем в тригонометрической форме комплексное число
$$z=4(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6})$$
802