Асимптоты функции

Вертикальная асимптота

Прямая x=a на графике 1 — вертикальная асимптота.

Если один из пределов $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a} — 0} f(x)$ или $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a} + 0} f(x)$ равен бесконечности, то это вертикальная асимптота.

График вертикальные асимптоты

График 1 — вертикальной асимптоты x=a

Горизонтальная асимптота

Прямая (график 2) y=b является горизонтальной асимптотой при условии, если существуют конечные пределы:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = b$ и $\mathop {\lim }\limits_{x \to  — \infty } f(x) = b$

График горизонтальная асимптота

График 2 горизонтальной асимптоты y=b

Наклонная асимптота

Прямая (график 3) y=kx+b является наклонной асимптотой, если существуют конечные пределы k и b при x→∞ или x→+∞:

$k = \lim \frac{{f(x)}}{x}$ и $b = \lim (f(x) — kx)$

График наклонная асимптота

График 3 наклонной асимптоты y=kx+b


Пример
Найти асимптоты  функции

$y = \frac{{6{x^2} + 5x — 5}}{{2x + 3}}$

Решение

$2x + 3 \ne 0$

$x \ne  — \frac{3}{2}$

вертикальная асимптота пример
Так как предел равен бесконечности, следовательно получаем вертикальную асимптоту, которая равна

$x =  — \frac{3}{2}$

Найдём наклонную асимптоту функции (это коэффициенты прямой k и b), используя правило Лопиталя, имеем
Наклонная асимптота пример с решением

Прямая имеет вид

y=3x-2

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.