Вычисление площадей плоских фигур

Площадь плоских фигур определяется через определённый интеграл от неотрицательной функции и равна площади криволинейной трапеции. В этом также заключается и геометрический смысл определённого интеграла.

Криволинейной трапецией называется фигура, которая ограничена графиком непрерывной функции f(x)≥0, прямыми x=a, y=b  и осью OX.


I. Площадь криволинейной трапеции на оси OX вычисляется по формуле:

формула площадь криволинейной трапеции

график площадь криволинейной трапеции


II. Если функция f(x)<0, то криволинейная трапеция находится ниже оси OX и тогда её площадь определяется по формуле:

формула площадь криволинейной трапеции

график площадь криволинейной трапеции


III. Если функция f2(x)≥f1(x), f2(x)-f1(x)≥0 то площадь фигуры находится по формуле:

площадь фигуры

Читается так: из верхней функции вычитаем нижнюю.

площадь фигуры


IV. Площадь криволинейной трапеции на оси OY определяется по формуле:формула площадь криволинейной трапеции4

график площади криволинейной трапеции3


V. Если криволинейная трапеция расположена левее оси OY, то её площадь находится по формуле:площадь криволинейной трапеции график площади криволинейной трапеции ось OY


VI. Если функция φ2(x)≥φ1(x), φ2(x)-φ1(x)≥0, то площадь криволинейной трапеции ограниченна графиками x=φ1(x), x=φ2(x) и прямыми y=d, y=c и определяется по формуле:

формула площадь криволинейной трапеции5

график криволинейная трапеция5

Если плоская фигура не относится к криволинейной трапеции вышеперечисленных видов, то её разбивают прямыми на криволинейные трапеции, которые параллельны оси OX или OY. Затем используют приведённые формулы выше.


Пример 1

Найти площадь S фигуры, ограниченной функцией f(x)=ex и линиями x=0 и x=e

Решение

Построим график функции f(x)=ex

график e в степени x

интеграл e в степени x


Пример 2

Найти площадь S фигуры, ограниченной линиями y=x2 и y=3x

Решение

Пределами интегрирования являются точки абсциссы пересечения этих функций.

Графически можно представить следующем образом.

график квадратной и линейной функции1

Найдем их через решения системы уравнений.

система уравнений

Решая систему находим корни x1=0 и x2=3

$$\eqalign{& \int\limits_0^3 {3x — {x^2}dx = } \cr & = \left( {\frac{3}{2}{x^2} — \frac{1}{3}{x^3}} \right)|_0^3 = \cr & = \frac{{27}}{2} — \frac{{27}}{3} = \frac{{27}}{6} = 4,5 \cr} $$

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.