Вычисление длины дуги

Формула для вычисления длины дуги кривой заданной уравнением у=f(x) в прямоугольной системе координат:

формула длина дуги

a — начала дуги по оси OX;

b — конец дуги по оси OX a<b.


Если плоская кривая задана уравнением x=g(y)  то формула имеет вид:

формула длина дуги через интеграл

c — начала дуги по оси OY;

d — конец дуги по оси OY a<b


Если кривая задана в полярных координатах r=r(φ),  α≤φ≤β, то длина дуги вычисляется по формуле:

формула длина дуги в полярных координатах


Если кривая задана параметрическим уравнением вида x=x(t) и y=y(t), то длина дуги определяется по формуле

формула длина дуги для параметрического уравнения

t2, t1 — значения параметров, которые соответствуют концам дуги  t1<t2


Пример 1

Найти длину дуги функции на промежутке от 0 до 1.

$$y = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}$$

Решение

графики длина дуги

Найдем производную функции:

производная от функции

Возведём в квадрат функцию:

$$(\sqrt x ) = x$$

Подставляя в формулу, найдем длину дуги:

 длина дуги кривой решение


Пример 2

Найти длину дуги окружности от точки  ${M_1}\left( {4;0} \right)$ до точки  ${M_2}\left( {2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right)$. Уравнение окружности задано в параметрическом виде.

решение первой системы уравнений

Решение

график длина дуги окружности

Найдем параметр t в точках M1 и M2, решим системы уравнений.

система уравнений

Здесь t1=0

решение второй системы уравнений

Отсюда  ${t_2} = \frac{\pi }{4}$

Подставляя в формулу, найдем длину дуги окружности.

решение длина дуги окружности


Пример 3

Вычислить длину дуги одного лепестка циклоиды. Уравнение циклоиды задано параметрическим уравнением.

$$x = t — \sin t$$

$$y = 1 — \cos t$$

Решение

Циклоида график

График циклоиды

Продифференцируем по t параметрические уравнения циклоиды:

пример с решением производная для параметрического уравнения

отсюда

находим производную

Подставляя в формулу, получаем

длина дуги циклоиды решение

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.