Вычисление длины дуги

Формула для вычисления длины дуги кривой заданной уравнением у=f(x) в прямоугольной системе координат:

a — начала дуги по оси OX;

b — конец дуги по оси OX a<b.

---

Если плоская кривая задана уравнением x=g(y)  то формула имеет вид:

c — начала дуги по оси OY;

d — конец дуги по оси OY a<b

---

Если кривая задана в полярных координатах r=r(φ),  α≤φ≤β, то длина дуги вычисляется по формуле:

---

Если кривая задана параметрическим уравнением вида x=x(t) и y=y(t), то длина дуги определяется по формуле

t₂, t₁ — значения параметров, которые соответствуют концам дуги  t₁<t₂

---

Пример 1

Найти длину дуги функции на промежутке от 0 до 1.

$$y = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}$$

Решение

Найдем производную функции:

Возведём в квадрат функцию:

$$(\sqrt x ) = x$$

Подставляя в формулу, найдем длину дуги:

 

---

Пример 2

Найти длину дуги окружности от точки  ${M_1}\left( {4;0} \right)$ до точки  ${M_2}\left( {2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right)$. Уравнение окружности задано в параметрическом виде.

Решение

Найдем параметр t в точках M₁ и M₂, решим системы уравнений.

Здесь t₁=0

Отсюда  ${t_2} = \frac{\pi }{4}$

Подставляя в формулу, найдем длину дуги окружности.

---

Пример 3

Вычислить длину дуги одного лепестка циклоиды. Уравнение циклоиды задано параметрическим уравнением.

$$x = t — \sin t$$

$$y = 1 — \cos t$$

Решение

График циклоиды

Продифференцируем по t параметрические уравнения циклоиды:

отсюда

Подставляя в формулу, получаем