Интегрирование тригонометрических функций

I. Для нахождения интегралов от тригонометрических функций вида:

∫cos2nx dx

∫sin2nx dx

где n – целое положительное число.

применяют тригонометрические формулы понижения степени:

${\sin ^2}\alpha = \frac{{1 — \cos 2\alpha }}{2}$

${\cos ^2}\alpha = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}$

$\sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$


Пример 1

Найти интеграл от функции

∫cos2x dx

Решениевычисление интеграла cosx в квадрате

Пример 2

Найти интеграл от функции

∫sin4x dx

Решение

пример с решением интегрирование тригонометрической функции


II. Вычисление интеграла вида:

∫sin2n+1x dx

∫cos2n+1x dx

Для первой функции применяем функцию cosx, для второй — sinx.

Пример 3

Найти интеграл от функции

∫cos3x dx

Решение

∫cos3x dx = ∫cos2x cosx dx = 

= ∫(1-sin2x) cosx dx =

= ∫cosx dx + ∫sin2x cosx dx =

= sinx — 1/3sin3x + C


III. Для вычисления интегралов от тригонометрических функций вида:

∫cosmx dx

∫sinnx dx

где одно из чисел m или n – нечетное.

Вводят вспомогательную тригонометрическую функцию, sinx (если n — нечетно), cosx (если m — нечетно)

Пример 4

Найти интеграл от функции

∫cos4x sin3x dx

Решение

Подынтегральное выражение представим в виде:

cos4x sin2x d(-cosx) = -cos4x (1-cos2x) d(cosx)

получаем

решение интеграла синус и косинус


IV. Для вычисления интегралов вида:

∫sin mx cos nx dx 

∫cos mx cos nx dx 

∫sin mx sin nx dx 

удобно применять тригонометрические формулы произведения:

sin mx cos nx dx = 1/2 [sin(m-n)x + sin(m+n)x]

cos mx cos nx dx = 1/2 [cos(m-n)x — cos(m+n)x]

sin mx sin nx dx = 1/2 [cos(m-n)x + cos(m+n)x]

Пример 5

Найти интеграл от функции

∫sin2x sin5x dx

Решение

решение интеграла синус


V. Для вычисления интегралов от тригонометрических функций вида:

tgmx dx

∫ctgnx dx

применяют множитель tg2x или ctg2которые преобразовываются в равенства:

$$\eqalign{& 1 + t{g^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}  \cr & 1 + ct{g^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} \cr} $$

Пример 6

Найти интеграл от функции

∫tg3x dx

Решение

пример с решением интеграла тангенс в кубе

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.