Метод подстановки в интегрирование

Если функция f(x) имеет первообразную и при этом x=φ(t) дифференцируема и непрерывна, тогда для интегрирования функции можно воспользоваться формулой:

формула метод подстановки

Рассмотрим примеры.


Пример

$$\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 + {e^x}} }}} dx$$

Решение

Чтобы избавиться от корня, сделаем подстановку, пусть $1 + {e^x} = {t^2}$, тогда имеем $t = \sqrt {1 + {e^x}} $.

Для того чтобы найти dx, продифференцируем выражение $1 + {e^x} = {t^2}$, получим 

$$d\left( {1 + {e^x}} \right) = d\left( {{t^2}} \right)$$

$${e^x}dx = 2tdt$$

$$dx = \frac{{2tdt}}{{{e^x}}} = \frac{{2tdt}}{{{t^2} — 1}}$$

В итоги получим интеграл:

$$\int {\frac{{du}}{{{u^2} — {a^2}}}} $$

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.