Функция называется иррациональной, если переменная величина находится под знаком корня.
Алгоритм решения интеграла иррациональной функции заключается в приведении ее к рациональной функции за счет возведении в степень.
Пример 1
Найти
Решение
Выполним преобразование иррациональной функции, возведя в квадрат:
Сделаем подстановку, тогда
выполним подстановку и преобразуем функцию к удобному виду для интегрирования
выполним интегрирование рациональной дроби
найдем интеграл от иррациональной функции
Пример 2
Найти
Решение
Преобразуем дробь, возведя в куб
сделаем подстановку, тогда
Таким образом, получим интеграл от рациональной дроби
Пример 3
Найти
Решение
Выполним преобразование интеграла
Разобьём интеграл на два интеграла
Делаем замену, пусть
$\sqrt[3]{x}+1=t$
$x=(t-1)^3$
$dx=3(t-1)^2 dt$
далее выполняем решение интеграла
345