Линейное ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Если дифференциальное уравнение имеет вид:

y′′ + py’ + qy = 0

то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами

p, q — числа или постоянные коэффициенты

Для решения искомого уравнения необходимо записать характеристическое уравнение вида

k2 + pk + q = 0

Корни характеристического уравнения можно найти через дискриминант

D = p2 – 4q


В характеристическом уравнении три случая различных корней, перечислим их:

  1. Если  D>0, то уравнение имеет два действительных и различных корня:

$${k_{1,2}} = \frac{{ — p \pm \sqrt {{p^2} — 4q} }}{2}$$

k≠ k2

k1, k2 – корни уравнения

тогда запишем общее решение уравнения:

Решение линейного ОДУ с постоянными коэффициентами формула


II. Если  D=0, то уравнение имеет один действительный корень:

$${k_{1,2}} = \frac{{ — p}}{2}$$

k= k2 = k

k – корень уравнения

отсюда получим общее решение уравнения:

Решение линейного ОДУ с постоянными коэффициентами формула


III.

Если  D<0, то уравнение имеет пару комплексных корней:

$${k_{1,2}} = \frac{{ — p \pm i\sqrt D }}{2}$$

k1,2 α±iβ

k1, k2 – корни уравнения

α — действительная часть корня

β — мнимая часть корня

запишем общее решение уравнения:

Решение линейного ОДУ с постоянными коэффициентами формула


Пример 1


Пример 2

$$y′′ -6y’ + 9y = 0$$

$${k^2} — 6k + 9 = 0$$

$${k_{1,2}} =  3$$

$$y = {e^{ 3x}}({C_1} + x{C_2})$$


Пример 3

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.