Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Решение уравнения вида

y’=f(x)·g(x)

представляется следующей зависимостью

$$\frac{{dy}}{{dx}} = f(x) \cdot g(y)$$

$$\frac{{dy}}{{g(y)}} = f(x)\,\,dx$$

$$\int {\frac{1}{{g(y)}}} dy = \int {f(x)\,\,dx} $$


Пример 1

Найти решение дифференциального уравнения

$$y’ + y = 0$$

Решение

$$\frac{{dy}}{{dx}} =  — y$$

$$\frac{{dy}}{y} =  — dx$$

$$\int {\frac{{dy}}{y} =  — \int {dx} } $$

$$\ln y =  — x + C$$

$$y = {e^{ — x}} \cdot {e^C}$$

$$y = {C} \cdot {e^{ — x}}$$


Пример 2
Решите дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

y’ = ycos x

Решение

$$\eqalign{& \frac{{dy}}{{dx}} = y\,\cos x\,\,\,\,  \cr& \frac{1}{y}\frac{{dy}}{{dx}} = \cos x\,\,\,\,  \cr& \frac{1}{y}dy = \cos xdx \cr} $$

$$\eqalign{& \int {\frac{1}{y}} dy = \int {\cos \,x\,dx\,\,\,} \,  \cr& \ln \,y = \sin x + C  \cr& y = {e^{\sin x + C}} = {e^C} \cdot {e^{\sin x}} = C \cdot {e^{\sin x}}  \cr& ({e^C} = C) \cr} $$

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.