Общее уравнение плоскости
Уравнение вида
Ax + By + Cz + D = 0
называется общим уравнением плоскости,
где A,B,C — координаты нормали плоскости, т.е. N={A,B,C}
Плоскость, проходящая через точку M(x0;y0;z0) и перпендикулярная к нормальному вектору N{A;B;C} представляется уравнением первой степени:
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Нормальный вектор (нормаль) — это вектор, перпендикулярный данной плоскости.
Пример 1
Плоскость, проходящая через точку (2;-1;3) и перпендикулярная к вектору {-1;-5;2} представляется уравнением:
-1(x-2)+(-5)(y-(-1))+2(z-3)=0 или 2z-5y-x-9=0
Пример 2
Даны точки М1(-2; 5; 4) и М2(-6; 2; -1). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 и перпендикулярной вектору $\vec N = \overrightarrow {{M_1}{M_2}} $.
Решение
Сначала найдем координаты нормального вектора
N={-6-(-2); 2-5; -1-4}={-4; -3; -5;}
Искомое уравнение плоскости:
Искомое уравнение плоскости:
-4(x+2)-3(y-5)-5(z-4)=0 или 4x+3y+5z-37=0
Особые случаи положения плоскости относительно системы координат
если D=0, то Ax+By+Cz=0 — плоскость проходит через начало координат;
если С=0, то Ax+By+D=0 — плоскость параллельна оси OZ;
если B=0, то Ax+Cz+D=0 — плоскость параллельна оси OY;
если A=0, то By+Cz+D=0 — плоскость параллельна оси OX;
если B=0 и C=0, то Ax+D=0 — плоскость, параллельна оси OY и OZ;
если A=0 и C=0, то By+D=0 — плоскость, параллельна OX и OZ;
если A=0 и B=0, то Cz+D=0 — плоскость параллельна как оси OX и OY
2492