Смешанное произведение векторов и их свойства

Смешанным произведением трех векторов а, b, с называется скалярное произведение вектора а на векторное произведение b×с, т. е. а⋅(b×с) или (b×с)⋅а

Обозначение: аbс

Выразим смешанное произведение через координаты трех векторов a={ax;ay;az}, b={bx;by;bz} и c={cx;cy;cz}, получим формулу, которая равна определителю матрицы третьего порядка:

смешанное произведение векторов формула

или

смешанное произведение векторов формула

Признаком компланарности смешанного произведения векторов abc является обращение в ноль модуля смешанного произведения abc, т.е.

|abc|=0

Пример

Доказать, что векторы a=(1;-1;2), b=(1;2;-1) c=(2;-2;4) являются компланарными

Решение

|abc|=$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ — 1}&2 \\1&2&{ — 1} \\2&{ — 2}&4\end{array}} \right| = $

$ = 1\cdot\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ — 1} \\ { — 2}&4 \end{array}} \right| — \left( { — 1} \right)\cdot\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ — 1} \\ 2&4 \end{array}} \right| + 2\cdot\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2 \\ 2&{ — 2} \end{array}} \right| = $

$ = 1\cdot\left( {2\cdot4 — \left( { — 1} \right)\cdot\left( { — 2} \right)} \right) — \left( { — 1} \right)\cdot\left( {1\cdot4 — \left( { — 1} \right)\cdot2} \right) + 2\cdot\left( {1\cdot\left( { — 2} \right) — 2\cdot2} \right) = 0$

Так как |abc| = 0, следовательно векторы компланарны. Что и требовалось доказать.

 


Свойства смешанного произведения векторов

1.

abc = bса = cab = − (bас) = − (cba) = − (acb)

2. Свойство распределительности

(a+b)cd = acd+bcd

 

3. Cвойство сочетательности

(mа) = m (аbс)

 

4. Смешанное произведение равно нулю, если:

— два из векторов коллинеарны;

— имеющее хотя бы два равных сомножителя, т.е. (aab=0);

— хотя бы один из векторов равен нулю;

— векторы компланарны.


Геометрический смысл смешанного произведения векторов

Объём параллелепипеда, построенного на трех векторах равен модулю смешанного произведения векторов. Тогда запишем формулу

Vпараллелепипеда=|аbс|

Пример расчёта объёма параллелепипеда, построенного на трех векторах см. здесь.

Объём треугольной призмы, построенной на трех векторах равен половине модуля смешанного произведения векторов. Формула примет вид:

Vтреугольной призмы=$\frac{1}{2}$⋅|аbс|

Вычисляется аналогично, как и  объёма параллелепипеда, только делится пополам.

Объём треугольной пирамиды, построенной на трех векторах равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов. Получаем формулу:

Vтреугольной пирамиды=$\frac{1}{6}$⋅|аbс|

Пример вычисления объём треугольной пирамиды см. здесь

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.