Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Если плоскость проходит через три точки М1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2) и M3(x3;y3;z3), не лежащие на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

 

Уравнение плоскости, проходящей через три точки формула

 

Уравнение плоскости, проходящей через три точки рисунок

При этом, векторы $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} $={X2-X1;Y2-Y1;Z2-Z1} и $\overrightarrow {{M_1}{M_3}} $={X3-X1;Y3-Y1;Z3-Z1} не коллинеарны.

Точка М(х; у; z) лежит в одной плоскости с точками M1, M2 и M3 только в том случае, когда векторы:

$\overrightarrow {{M_1}{M_2}} $,  $\overrightarrow {{M_1}{M_3}}$ и $\overrightarrow {{M_1}{M}}$={X-X1;Y-Y1;Z-Z1} компланарны.


Пример

Точки M1(2;3;1), M2(1;2;2) и M3(1;5;4)  не лежат на одной прямой, так как

векторы  $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} $={1-2; 2-3; 2-1}={-1; -1; 1} и $\overrightarrow {{M_1}{M_3}} $={1-2; 5-3; 4-1}={-1; 2; 3} не коллинеарны (не параллельны).

Плоскость с точками M1, M2 и Mпредставляется уравнением

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{x — 2}&{y — 3}&{z — 1} \\ { — 1}&{ — 1}&1 \\ { — 1}&2&3 \end{array}} \right| = 0$

$\left( {x — 2} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { — 1}&1 \\ 2&3 \end{array}} \right| — \left( {y — 3} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 1}&1 \\ { — 1}&3 \end{array}} \right| + \left( {z — 1} \right)\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{ — 1}&{ — 1} \\ { — 1}&2 \end{array}} \right| = 0$

 

$ \left( {x — 2} \right)\left( { — 1\cdot3 — 2\cdot1} \right) — \left( {y — 3} \right)\left( { — 1\cdot3 — 1\cdot — 1} \right) + \left( {z — 1} \right)\left( { — 1\cdot2 — \left( { — 1} \right)\cdot — 1} \right) = 0$

Получаем уравнение

5x-2y+3z-7=0

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.