Точка пересечения трех плоскостей

Чтобы найти координаты точки пересечения трех плоскостей, необходимо решить эти уравнения относительно х, у и z, при этом координаты точки пересечения должны удовлетворять уравнениям всех трех плоскостей.

Система уравнений трёх плоскостей имеет вид:

A1x + B1y + C1z + D= 0 

A2x + B2y + C2z + D= 0

A3x + B3y + C3z + D= 0 

Если определитель этой системы не равен нулю,

определитель формула
то система имеет единственное решение и тогда три плоскости пересекаются в одной точке.

Замечания

1. Если три плоскости не имеют ни одной общей точки ( или хотя бы две из них параллельны) — система уравнений не имеет решений.
2.Если плоскости имеют бесчисленное множество общих точек ( все они проходят через одну прямую), то система уравнений имеет бесчисленное множество решений.
3.Если система имеет одну общую точку, то система уравнений имеет только одно решение.


Пример 1
Исследовать, есть ли общие точки у плоскостей

x+y+z=1,       x-2y-3z=5,       2x-y-2z=6

Оно имеет бесчисленное множество решений. Значит, три плоскости имеют бесчисленное множество общих точек, т. е. проходят через одну прямую.
Плоскость


Пример 2

х-у+2=0  

х+2у-1=0   

x+y-z+2=0

Решая эти уравнения совместно, получим координаты искомой точки x=-1; y=1; z=2.

Таким образом плоскости имеют одну общую точку (-1; 1; 2), так как система уравнений   имеет  единственное   решение.
Плоскость


Пример 3
Плоскости

4х-2у+z-4=0 (1)

8х-4у+2z+9=0  (2)

x+y-5z=0 (3)

не имеют общих точек, так как плоскости (1) и (2) параллельны.

Система уравнений несовместима (уравнения (1) и (2) противоречат друг другу).
Плоскость

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.