Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение векторов находится через координаты перемножаемых векторов (координаты соомножителей).
$\sqrt {{m^2}} = \left| m \right| = \sqrt {{X^2} + {Y^2} + {Z^2}} $
$\sqrt {a_1^2} = \left| {{a_1}} \right| = \sqrt {{X^2} + {Y^2} + {Z^2}} = \sqrt {{1^2} + {4^2} + {{\left( { — 2} \right)}^2}} = \sqrt {21} $
$\sqrt {a_2^2} = \left| {{a_2}} \right| = \sqrt {{X^2} + {Y^2} + {Z^2}} = \sqrt {{{\left( { — 2} \right)}^2} + {0^2} + {3^2}} = \sqrt {13} $
Свойства скалярного произведения
1) Скалярное произведение a·b обращается в нуль, если один из перемножаемых векторов есть нуль-вектор или векторы а и b перпендикулярны.
Если a⊥b, то a·b=0
Пример
2i·3j=0, так как координатные векторы i, j, а значит векторы перпендикулярны.
Примечание 1
В обычной алгебре запись a·b=0 означает, что либо а=0 или b=0. Для скалярного произведения это свойство не имеет никакого смысла.
Переместительный закон
2) Свойство переместительности:
a·b=b·a
Распределительный закон
3) Свойство распределительности (для любого числа слагаемых):
(a1+a2+a3)·b=a1·b+a2·b+a3·b
Пример
3a·b+4a·c=a·(3b+4c)
Сочетательный закон
4) Свойство сочетательности относительно скалярного множителя:
(m·a)·b=a·(m·b)=m·(a·b)
Пример
(4a)·b=4а·b
(-2a)·(-5b)=10а·b
5) Если вектора а и b коллинеарны, то a·b=±|a|·|b|
(знак «+», если а и b имеют одно и то же направление, знак «−«, если противоположное)
a2=|a|2
Скалярный квадрат вектора есть квадрат его модуля.
Примечание 2
Скалярного куба в векторной алгебре нет.
Примечание 3
Нельзя вместо $\sqrt {{a^2}} $ писать а, так как a – вектор, а не число.
Правильно будет: $\sqrt {{a^2}} = \left| a \right|$
Скалярное произведение координатных векторов
Рассмотрим пример
Пример
Вычислить выражение (i+k)(i—k), где i, j, k — координатные векторы.
Решение
Векторы i, j, k взаимно перпендикулярны, следовательно ij=ik=jk=0 и
kk = |k| |k| cos(k,∧k) = |k|2cos 0 = 1
Получаем (i+k)(i—k) = ij−ik+kj-kk = -1
На основании примера выше составим таблицу скалярного произведения координатных векторов
599