Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов находится через координаты перемножаемых векторов (координаты соомножителей).

Если вектор а1={X1, Y1, Z1} и вектор a2={Х2, Y2, Z2}, то скалярное произведение выражается формулой:
  а1·а2=X1·X2+ Y1·Y2+Z1·Z2    
В частности, если вектор a={X, Y, Z}, то

 $\sqrt {{m^2}}  = \left| m \right| = \sqrt {{X^2} + {Y^2} + {Z^2}} $

 Пример
  Найти   длины   векторов   а1{1, 4, -2}, а2{-2, 0, 3} и скалярное произведение этих векторов.
  Решение 
  Искомые длины равны:

$\sqrt {a_1^2}  = \left| {{a_1}} \right| = \sqrt {{X^2} + {Y^2} + {Z^2}}  = \sqrt {{1^2} + {4^2} + {{\left( { — 2} \right)}^2}}  = \sqrt {21} $

$\sqrt {a_2^2}  = \left| {{a_2}} \right| = \sqrt {{X^2} + {Y^2} + {Z^2}}  = \sqrt {{{\left( { — 2} \right)}^2} + {0^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} $

  Скалярное произведение равно:
  аа2=1·(-2)+4·0+(-2)·3=-2-6=-8

Свойства скалярного произведения

1) Скалярное произведение a·b обращается в нуль, если один из перемножаемых векторов есть нуль-вектор или векторы а и b перпендикулярны.

Если ab, то a·b=0

  Пример 

  23j=0, так как координатные векторы ij, а значит векторы перпендикулярны.

Примечание 1 

В обычной алгебре запись a·b=0 означает, что либо а=0 или b=0. Для скалярного произведения это свойство не имеет никакого смысла.

Переместительный закон

2) Свойство переместительности:

  a·b=b·a 

Распределительный закон

3) Свойство распределительности (для любого числа слагаемых):

  (a1+a2+a3b=a1·b+a2·b+a3·b 

  Пример

  3a·b+4a·c=a·(3b+4c)

Сочетательный закон

4) Свойство сочетательности относительно скалярного множителя:

  (m·ab=(m·b)=m·(a·b

  Пример 

  (4ab=4а·b

  (-2a)·(-5b)=10а·b

5) Если вектора а и b коллинеарны, то a·b=±|a|·|b|
(знак «, если а и b имеют одно и то же направление, знак «−«, если противоположное)

  a2=|a|

  Скалярный квадрат вектора есть квадрат его модуля.

  Примечание 2

  Скалярного куба в векторной алгебре нет.

  Примечание 3 

  Нельзя вместо $\sqrt {{a^2}} $ писать а, так как – вектор, а не число.

  Правильно будет: $\sqrt {{a^2}}  = \left| a \right|$


Скалярное произведение координатных векторов

Рассмотрим пример

Пример

Вычислить выражение (i+k)(ik), где i, j, k — координатные векторы.

Решение

Векторы i, j, k взаимно перпендикулярны, следовательно ij=ik=jk=0 и

kk = |k| |k| cos(k,k) = |k|2cos 0 = 1

Получаем (i+k)(ik) = ij−ik+kj-kk = -1

На основании примера выше составим таблицу скалярного произведения координатных векторов

  i·i=i2=1       j·j=j2=1       k·k=k2=1
  i·j=j·i=0       i·k=k·j=0       k·i=i·k=0

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.