Проекции прямой на координатные плоскости

Если прямая представляется уравнениями

 A1x + B1y + C1z + D1=0  (1) 
     A2x + B2y + C2z + D2=0  (2) 

,где С1 и С2 одновременно не равны нулю (случай когда С12= 0 рассмотрен ниже в примере 2). Чтобы найти проекцию прямой на плоскость XOY, необходимо исключить z из уравнений (1) и (2). Полученное уравнение (вместе с уравнением z=0) будет представлять искомую проекцию. Аналогично находятся проекции на плоскости для YOZ и ZOX.


Пример 1
Найти проекцию прямой L

2x+4y-3z-12=0

        x-2у+4z-10=0       

на плоскость ХОY.

Решение
Для того, чтобы исключить z, умножим первое уравнение на 4, а второе — на 3 и затем сложим. Получим:

4⋅(2x+4y-3z-12)+3⋅(x-2y+4z-10)=0
11x+10у-78=0

Это уравнение вместе с уравнением z=0 представляет проекцию L’ прямой L на плоскость XOY.


Пример 2 
Найти проекции прямой L
2х-3у=0
х+у-4=0
на координатные плоскости.

  Решение
Плоскость
В данных уравнениях отсутствует z, потому что плоскости Р1 и Р2 перпендикулярны (Р1⊥Р2) к плоскости XOY. Прямая L перпендикулярна к XOY и проектируется на плоскость XOY в точку N с координатой zN=0. Решая систему, находим значения xN=12/5, уN=8/5.
Уравнение проекции L’ на плоскость YOZ можно найти по общему способу, исключая х из уравнения. Получим у=8/5, то есть то же равенство, которое найдено выше для уN. Уравнение проекции L» на плоскость XOZ будет x=12/5

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.