Чтобы найти нормальное уравнение плоскости, заданной уравнением Ах + By + Cz + D=0, достаточно разделить обе части данного уравнения на:
$ \mp \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} $
, причем знак «минус» берется, когда D>0, а знак «плюс», когда D<0; если D=0, то можно взять любой знак.
Получаем нормальное уравнение плоскости:
Это уравнение можно также представить в виде:
xcosα + ycosβ + zcosγ − p = 0
где р — полярное расстояние, α, β, γ — полярные углы (cos2α+cos2β+cos2γ=1).
Пример 1
Привести к нормальному виду уравнение:
x-2у+2z-9=0
Решение
Делим обе части уравнения на:
$ + \sqrt {{1^2} + {{\left( { — 2} \right)}^2} + {2^2}} = 3$
(перед радикалом —плюс, так как свободный член -9 отрицателен. Получаем:
$\frac{1}{3}x — \frac{2}{3}y + \frac{2}{3}z — 3 = 0$
Следовательно получаем, р=3, cosα=1/3, cosβ=-2/3, cosγ=2/3
Пример 2
Привести к нормальному виду уравнение
x-2y+2z+9=0
Решение
Свободный член положителен и равен 9. Поэтому делим на
$ — \sqrt {{1^2} + {{\left( { — 2} \right)}^2} + {2^2}} = 3$
Получаем:
$ — \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}y — \frac{2}{3}z — 3 = 0$
Следовательно получаем,
р=3, cosα=-1/3, cosβ=2/3, cosγ=-2/3
Пример 3
Привести к нормальному виду уравнение
x-2y+2z =0
Решение
Так как D=0 (плоскость проходит через начало), то можно разделить либо на +3, либо на -3. В обоих случаях р=0. Величины в первом случае α, β, γ те же, что и в примере 1, во втором — те же, что в примере 2.
1012