Нормальное уравнение прямой

Как привести уравнение прямой к нормальному виду

Для того, чтобы найти нормальное уравнение прямой, заданной уравнением Ax+By+C=0, необходимо разделить данное уравнение на

при этом знак «минус» берётся, когда C>0, а знак «плюс» берётся, когда C<0. Если C=0, то можно взять любой знак. Тогда получим уравнение вида: 

Если учесть, что полярное расстояние определяется по формуле,

полярное расстояние формула

а полярный угол по формулам

полярный угол

Тогда уравнение примет вид

x cosα + y sinα − p = 0

Это и есть нормальное уравнение прямой

То же самое получим, если обе части уравнения Ах + By + С = 0 умножим на число

то есть:

x cosα + y sinα − p = 0

Графически это можно представить следующем образом

Рисунок нормальное уравнение прямой

Прямая AB с полярным расстоянием p (длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат OK) и полярным углом α (угол измеренный в положительном направлении между положительным направлением оси Ox и направлением этого перпендикуляра)     представляется уравнением:

x cosα + y sinα − p = 0

Если p=0, то прямая проходит через начало координат, а угол
фи плюс пи пополам
задаёт угол наклона прямой.


Пример 1
Привести уравнение 3x-4y+5=0 к нормальному виду. Здесь A=3, B=-4, C=5>0. Поэтому делим на
 получаем

$ — \frac{3}{5}x + \frac{4}{5}x — 1 = 0$

Это уравнение вида

x cosα + y sinα − p = 0

здесь

p=1,  $\cos \alpha  =  — \frac{3}{5}$,  $\sin \alpha  =  \frac{4}{5}$


Пример 2

Пусть прямая AB стоит от начала оси координат на расстоянии OK=$\sqrt 2 $ и пусть луч OK составляет с лучом OX угол равный α=1350

Рисунок нормальное уравнение прямой

тогда нормальное уравнение прямой AB будет

Если умножить полученное уравнение на $-\sqrt 2 $, получим уравнение прямой AB в виде

x-y+2 = 0, но это уравнение не является нормальным уравнением прямой.

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.