Направляющий вектор прямой

Ненулевой вектор а{l, m, n}, лежащий на прямой KM или параллельный этой прямой называется направляющим вектором.

Координаты l, m, n направляющего вектора называются направляющими коэффициентами прямой. За направляющий вектор прямой KM, образованная  уравнениями двух пересекающихся плоскостей

  A1x + B1y + C1z + D1=0  (1) 
     A2x + B2y + C2z + D2=0  (2) 

можно принять векторное произведение N1×N2,

где N1={А1, В1, C1} и N2={А2, В2, C2} — нормальные векторы плоскостей Р1 и Р2, представляемых уравнениями (1) и (2). На рисунке видно, что прямая KM перпендикулярна к нормальным векторам N1N2

направляющий вектор

Направляющий вектор можно найти по формуле:

направляющий вектор формула


Пример 1

Найти направляющий вектор прямой

2x — y + z + 7=0  (1) 
−3x + 4y + z + 5=0  (2) 

Нормальные векторы имеют координаты N1={2, -1, 1} и N2={-3, 4, 1}, подставляя в формулу, получаем

$$\vec N_1 \times \vec N_2 = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\vec i}&{\vec j}&{\vec k} \\ 2&{ — 1}&1 \\ { — 3}&4&1 \end{array}} \right|=$$

$$=  — 5i — 5j + 5k$$

Следовательно

N1×N2=− 5i − 5j + 5k     ⇔    N1×N2={−5, −5, 5} 

Это и будет направляющим вектором прямой


Пример 2
Найти направляющие коэффициенты прямой

2x-2y-z+5=0, x+2y-2z+3=0

  Решение
Имеем  N1={А1, В1, C1}, N2={А2, В2, C2}. Примем а=N1×N2, за направляющий вектор данной прямой. Находим:

$$a = \left\{ {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { — 2}&{ — 1} \\  2&{ — 2} \end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 1}&2 \\ { — 2}&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ — 2} \\  1&2 \end{array}} \right|} \right\} =$$

$$= \left\{ {6;3;6} \right\}$$

Направляющие коэффициенты будут ι=6, m=3, n=6

Примечание 
Разделив эти числа на 3, найдем направляющие коэффициенты, то есть l’= 2, m’=1, n’=2

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.