Угол между двумя прямыми

Если две не перпендикулярные прямые, обозначенные как L1, L2, представляются уравнениями:

y=k1x+b1

y=k2x+b2

Угол между двумя прямыми рисунок

тогда угол между двумя прямыми находится по формуле:

$\tan \theta  = {\text{tan}}\left( {{\alpha _2} — {\alpha _1}} \right) =$

$\frac{{tan{\alpha _2} — tan{\alpha _1}}}{{1 + tan{\alpha _2}tan{\alpha _1}}} = \frac{{{k_2} — {k_1}}}{{1 + {k_1}{k_2}}}$

 таким образом, конечная формула угла между двумя прямыми равна:

Угол между двумя прямыми формула

Это выражение даёт угол, на который надо повернуть первую прямую L1, чтобы она стала параллельной второй прямой L2


Примечание 1
Если хотя бы одна из прямых L1, L2 параллельна оси OY, то выше написанная формула неприменима.

В этом случае угол θ определяется следующим образом:

1. Если прямая L2 параллельна оси OY, а прямая L1 не параллельна, то применяется формула

2. Если прямая L1 параллельно оси OY, а прямая L2 не параллельна, то применяется формула

3. Если прямая L1 и прямая L2 параллельны оси OY, то они и параллельны друг другом, так что

tgθ = 0


Примечание 2
Угол между прямыми, заданными уравнениями

A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0

можно найти по формуле

  

В случае, если A1A2+B1B2=0, то угол θ=±90 


Примечание 3
Если прямые перпендикулярны (θ=±90), то выражение 1+k1k2, находящиеся в знаменателе, равно в нулю и тогда θ надо считать равным ±90


Пример 1
Найти угол между прямыми y=3x-2 и y=-2x+3.

Решение
Здесь k1=3, k2=-2

 $\tan \theta  = \frac{{{k_2} — {k_1}}}{{1 + {k_1}{k_2}}} =$

$\frac{{ — 2 — 3}}{{1 + 3\cdot\left( { — 2} \right)}} = 1$

Отсюда θ=+450


Пример 2
Найти угол между прямыми y=2x−1 и y=−1/2x+5

Решение
Здесь k1=2, k2=−1/2   

 $\tan\theta  = \frac{{{k_2} — {k_1}}}{{1 + {k_1}{k_2}}} = $

$\frac{{ — \frac{1}{2} — 2}}{{1 + \left( { — \frac{1}{2}} \right)\cdot2}} = \frac{{ — 2\frac{1}{2}}}{0}$

Отсюда из примечания 3 следует, что θ=±900

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.