Эллипс

Эллипс – геометрическое место точек M(x;y), сумма расстояний которых до двух данных точек F1F2 имеет одно и то же значение 2a:

F1M+F2M=2a 

точки F1 и F2 – называются фокусами эллипса;

расстояние F1F2 – фокусное расстояние и равно F1F2=2с;

a — большая полуось;

b — малая полуось;

c — фокальный радиус, то есть полу расстояние между фокусами;

p — фокальный параметр;

Rmin – минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе;

Rmax — максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе;

Каноническое уравнение эллипса

Каноническое уравнение эллипса формула

где

Фокальный параметр находится

Фокальный параметр формулаКоэффициент сжатия эллипса (эллиптичность):

Коэффициент сжатия эллипса

Сжатие эллипса

Коэффициент сжатия и эксцентриситет эллипса связаны соотношением

Эксцентриситет эллипса

Эксцентриситет эллипса

Полуоси a, b и полуфокусное расстояние c эллипса выражаются через ε следующим образом

Полуоси и полуфокусное расстояние эллипса


Пример 1

  Длина малой оси эллипса 134 м. Длина большой оси равна 140 м. Найти коэффициент сжатия k и сжатие α этого эллипса

Решение


Пример 2

   Постройте кривую 4x2+9y2=36. Найдите фокусы, фокальный параметр и эксцентриситет.

Решение

 Делим обе части на 36 и получаем каноническое уравнение эллипса

   a=3, b=2

Делаем чертёж

c2=a2-b2=32-22=9-4=5

Отсюда находим Фокусы F1(-2,2;0) F2(2,2;0)

Фокальный параметр находим следующим образом

Эксцентриситет эллипса


Пример 3
Постройте кривую . Найдите фокусы и эксцентриситет.

Решение
Уравнение запишем в виде

a=1, b=5
Это уравнение не является каноническим уравнением эллипса, так как b>a, а должно быть b<а. А если переобозначить оси, то есть x=x’ , y=y’, тогда уравнение примет вид:


И тогда a=5, b=1
Делаем чертёж

c2=a− b2=5−12=25 − 1=24

Следовательно, фокусы в системе координат (x’;y’) имеют координаты (-4,9;0) и (4,9;0), а в системе (x;y) координаты

Эксцентриситет эллипса равен

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.