Формула Пуассона примеры

Формула Пуассона имеет вид:
Формула Пуассона
, где  λ=n·p
При большом количестве испытаний n≥100 и малых значений вероятности р≤0.1, вместо формулы Бернулли применяют формулу Пуассона (закон редких событий).
Рассмотрим применение формулы Пуассона в решение задач.


Пример 1
Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятности того, что магазин получит разбитых бутылок:
а) ровно две;
б)  менее двух;
в) более двух;
г) хотя бы одну.
Решение

а) λ равно:
λ=n·p=1000·0.003=3
  Найдём вероятность того, что магазин получит ровно две разбитых бутылки минеральной воды k=2:
P1000(2)=32·e-3/2!= 9/2·e-3≈0.224
б) Найдем вероятность, что будет разбито менее двух бутылок минеральной воды. Для этого вычислим сумму при k=0 и k=1:
  P1000(0)+P1000(1)=
=30·e-3/0!+31·e-3/1!=4·e-3≈0.1992
 
в) Здесь событие «разбито более двух бутылок минеральной воды» противоположно событию «разбито не более двух бутылок минеральной воды», следовательно
  p=1-q=1-[P1000(0)+P1000(1)+P1000(2)]=
=1-[30·e-3/0!+31·e-3/1!+32·e-3/2!]≈0.5768
 
 г) Событие «разбита хотя бы одна бутылка минеральной воды» противоположно событию «разбито ни одной бутылки минеральной воды», тогда 
   р=1-q=1-P1000(0)=1-30·e-3/0!≈0.95021

Пример 2
Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету р=0,01. Сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью Р, не меньшей, чем 0,95?
Решение
В этой задачи имеем два противоположных события «ни один из лотерейных билетов не выигрышным» и «хотя бы один лотерейный билет выигрышный», отсюда

P=1–P(0)

Так как

P(0)=λ0·e–λ/0!=e–λ

P=1–e–λ

По условию задачи

1–e–λ≥0.95

e–λ≤0.05

По таблице  при e-x=0.05 находим λ=3, так как e–x убывающая функция, следовательно должно выполняться неравенство λ≥np, тогда подставляя значения в выражения, имеем

 3≥n·0.01

n≥300

Нужно купить не менее 300 билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из лотерейных билетов.
Пример 3

Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно четыре бракованных.

Решение
Здесь, р=0,01n=200, для вычисления вероятности применим формулу Пуассона, тогда:

   λ=n⋅p=200⋅0.01=2

P200(4)=λ4⋅e/4!

   P200(4)=24⋅e-2/4! ≈ 2⋅0.13534≈0.09


Пример 4

Вероятность наступления события в каждом из одинаковых независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит ровно 5 раз
Решение
Здесь n — большое значение, р — маленькое значение.
λ = np = 150 ∙ 0,02 = 3, k = 5. 
По формуле Пуассона имеем,
${P_{150}}(5) \approx \frac{{{3^5}{e^{ — 3}}}}{{5!}} \approx 0,1008$
Здесь ещё пример.

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.