Уравнение прямой в пространстве

Всякая прямая линия KM представляется системой двух уравнений:

  А1х+В1у+С1z+D1=0   (1)
  А2х+В2у+C2z+D2=0   (2)
представляющих (если их рассматривать по отдельности) какие-либо две (различные) плоскости P1 и Р2, проходящие через KM. Уравнения (1) и (2) (взятые в совокупности) называются уравнениями прямой KM.
  Условие, при котором два уравнения первой степени представляют прямую
  Система
А1х+В1у+С1z+D1=0

А2х+В2у+C2z+D2=0

представляет прямую линию.

  Если коэффициенты A1, B1, С1 не пропорциональны коэффициентам A2, B2, С2 (в этом случае плоскости (1) и (2) не параллельны). 

  Если коэффициенты A1, B1, С1 пропорциональны коэффициентам  A2, B2, С2, но свободные члены не подчинены той же пропорции:
   A1:A2=B1:B212≠D1😀2 
 
, то система несовместна и не представляет никакого геометрического образа (плоскости (1) и (2) параллельны и не совпадают). 
  Если все четыре величины A1, B1, С1, Dпропорциональны величинам 
A2, B2, С2, D2:
           
  A1:A2=B1:B212=D1😀2  
 
, то одно из уравнений (1), (2) есть следствие другого и система представляет плоскость (плоскости (1) и (2) совпадают).
  Пример 1

Система

  4x-3y+10z-4=0, 8x-6у+40z-8=0 
представляет прямую линию (во втором уравнении коэффициенты А и В вдвое больше, чем в первом, а коэффициент С — вчетверо).
  Пример 2
  Система
  4x-3y+10z-4=0, 8x-6у+20z-8=0 
представляет плоскость (все четыре величины А, В, С, D пропорциональны).
  Пример 3
  Система
  4x-3y+10z-4=0, 8x-6у+20z-12=0 
не представляет никакого геометрического образа (величины А, В, С пропорциональны, a не подчинена той же пропорции; система несовместна).

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован.